CUADRICAS
Definición
Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican ecuaciones cuadráticas, es decir, de segundo grado del tipo
Clasificación
Podemos clasificar las cuádricas en dos tipos, las no degeneradas y las degeneradas
Cuádricas no degeneradas
Elipsoides:
Hiperboloides:
Paraboloides:
Cuádricas degeneradas
Cilindros:
Elipsoide
Es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones. La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:
Su forma general es: Ax²+By²+Cz²+Dx+Ey+Fz+G = 0
Donde A, B y C son positivos y al menos uno debe ser diferente de los otros dos
Ejemplo 1.-
x² + y² + z² = 1
16 9 4
Centro: C = (0, 0, 0)
Ejes de simetría del elipsoide:
-
En el plano XY: z = 0
-
En el plano XZ: y = 0
-
En el plano YZ: x = 0
A partir de los ejes de simetría, graficamos tres elipses en los planos XY, XZ e YZ
El en plano XY:
x² + y² = 1
16 9
Ejes de simetría de la elipse:
1) a²= 16
a = 4
Eje mayor en x = 2a = 8
2) b²= 9
b = 3
Eje menor en y = 2b = 6
Vértices:
a1 = (a , 0 , 0) = (4 , 0 , 0)
a2 = (-a , 0 , 0) = (-4 , 0 , 0)
b1 = (0 , b , 0) = (0 , 3 , 0)
b2 = (0 , -b , 0) = (0 , -3, 0)
Focos:
Distancia focal
f1 = (2.64 , 0 , 0)
f2 = (-2.64 , 0 , 0)
Excentricidad:
e = c/a
e= 2,64/4
e= 0,66
El en plano XZ:
x² + z² = 1
16 4
Ejes de simetría de la elipse:
1) a = 4
Eje mayor en x = 8
2) c²= 4
c = 2
Eje menor en z = 2c = 4
Vértices:
a1 = (a , 0 , 0) = (4 , 0, 0)
a2 = (-a , 0, 0) = (-4 , 0, 0)
c1 = (0 , 0, c) = (0 , 0, 2)
c2 = (0 , 0, -c) = (0 , 0, -2)
Focos:
Distancia focal
f1 = (3.46 , 0 , 0)
f2 = (-3.46 , 0 , 0)
Excentricidad:
e = c/a
e= 3,46/4
e= 0,86
El en plano YZ:
y² + z² = 1
9 4
Ejes de simetría de la elipse:
1) b = 3
Eje mayor en y = 6
2) c = 2
Eje menor en z = 4
Vértices:
b1 = (0 , b, 0) = (0 , 3, 0)
b2 = (0 , -b, 0) = (0, -3 , 0)
c1 = (0 , 0, c) = (0 , 0, 2)
c2 = (0 , 0, -c) = (0 , 0, -2)
Focos:
Distancia focal
f1 = (0 , 2.24 , 0)
f2 = (0 , -2.24 , 0)
Excentricidad:
e = c/a
e= 2,24/3
e= 0,74
Finalmente así queda graficada la elipsoide en el espacio
Ejemplo 2.-
(x - 2)² + (y + 1)² + z² = 1
16 9 25
En éste ejemplo trabajaremos de manera simplificada solo para mostrar las diferencias de de como trabajar con una elipsoide con desplazamiento.
Centro: C = (2, -1, 0)
Ejes de simetría del elipsoide:
-
En el plano XY: z = 0
-
En el plano XZ: y =-1
-
En el plano YZ: x = 2
Ejes de simetría de las elipses:
1) a²= 16
a = 4
Eje menor en x = 2a = 8
2) b²= 9
b = 3
Eje menor en y = 2b = 6
4) c²= 25
c = 5
Eje mayor en z = 2c = 10
Vértices:
a1 = (Cx + a , Cy , Cz) = (2+4 , -1 , 0) = (6 , -1 , 0)
a2 = (Cx - a , Cy , Cz) = (2-4 , -1, 0) = (-2 , -1 , 0)
b1 = (Cx ,Cy + b , Cz) = (2 , -1+3 , 0) = (2 , 2 , 0)
b2 = (Cx ,Cy - b , Cz) = (2 , -1-3, 0) = (2 , -4 , 0)
c1 = (Cx , Cy, Cz + c) = (2 , -1, 0+5) = (2 , -1, 5)
c2 = (Cx , Cy, Cz - c) = (2 , -1, 0-5) = (2 , -1, -5)
Esfera
Es un elipsoide con a = b = c. La ecuación ordinaria de una esfera con centro en C = (h, k, l) es:
Donde r es la medida del radio de la esfera
Su forma general es: x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0
O sea A = B = C = 1
Ejemplo:
Vamos a analizar los elementos y grafiar la siguiente esfera expresada en su forma general x² + y² + z² - 2x + 2y - 6z -14 = 0
El primer paso sería llevarla a su forma ordinaria, es decir: (x - h)² + (y - k)² + (z - l)² r²
Para ello vamos a agrupar los términos con la misma variable y completar cuadrado
x² + y² + z² - 2x + 2y - 6z -14 = 0
(x² - 2x) + (y² + 2y) + (z² - 6z) = 14
(x² - 2x + 1) - 1 + (y² + 2y + 1) - 1 + (z² - 6z + 9) - 9 = 14
(x² - 2x + 1) + (y² + 2y + 1) + (z² - 6z + 9) = 25
(x² - 2x + 1) + (y² + 2y + 1) + (z² - 6z + 9) = 25
(x - 1)² + (y + 1)² + (z - 3)² = 5²
Desarrollamos el cuadrado de un binomio en cada término cuadrático
Factorizamos cada trinomio
Y así es como llegamos a la ecuación de la esfera en su forma ordinaria
La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Hiperboloide hiperbólica
La hiperboloide hiperbólica también es conocido como la hiperboloide de una hoja. Sa ecuación con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:
-
La formula tiene 2 términos positivos y uno negativo.
-
Está igualada a 1
Si intersecamos la grafica con planos perpendiculares a los ejes podremos observar que:
-
Los planos que interceptan los ejes positivos se obtienen hipérbolas
-
Los planos que interceptan al eje negativo se obtienen elipses
Nota: En éste tipo de hiperboloides los ejes focales nunca estarán sobre el eje negativo
Ejemplos:
Vamos a analizar los elementos y graficar la primer hiperboloide hiperbólica a modo de ejemplos, al igual que en las elipsoides haremos las graficas de cada plano:
Centro: (2, 0, -1)
Haremos que los planos intercepten en el centro de la grafica, por lo tanto:
En el plano XY: (z =-1)
(x - 2)² + y² = 1
9 4
Ejes de simetría:
1) a² = 9
a = 3
Eje mayor en x = 2a = 6
2) b² = 4
b = 2
Eje menor en y = 2b = 4
Vértices:
a1 = (h+a, k, l) = (2+3 , 0, -1) = (5 , 0, -1)
a2 = (h-a , k, l) = (2 -3, 0 , -1) = (-1 , 0, -1)
b1 = (h, k + b, l) = (2 , 0+2, -1) = (2 , 2, -1)
b2 = (h, k - b, l) = (2 , 0-2, -1) = (2 , -2, -1)
Eje focal: Sobre el eje mayor a
La grafica corresponde a una elipse
En el plano XZ: (y = 0)
(x - 2)² - (z + 1)² = 1
9 16
Ejes de simetría:
1) a = 3
Eje menor en x = 2a = 6
2) b² = 16
b = 4
Eje mayor en y = 2b = 8
Vértices:
a1 = (h+a, k, l) = (2+3 , 0, -1) = (5 , 0, -1)
a2 = (h-a , k, l) = (2 -3, 0 , -1) = (-1 , 0, -1)
b1 = (h, k, l+b) = (2 , 0, -1+4) = (2 , 0, 3)
b2 = (h, k, l-b) = (2 , 0, -1-4) = (2 , 0, -5)
Eje focal: Sobre el eje x
La grafica corresponde a una hipérbola
En el plano YZ: (x = 2)
y² - (z + 1)² = 1
4 16
Ejes de simetría:
1) a = 2
Eje menor en y = 2a = 4
2) b = 4
Eje mayor en z = 2b = 8
Vértices:
a1 = (h, k+a, l) = (2 , 0+2, -1) = (2 , 2, -1)
a2 = (h , k-a, l) = (2, 0-2 , -1) = (2 , -2, -1)
b1 = (h, k, l+b) = (2 , 0, -1+4) = (2 , 0, 3)
b2 = (h, k, l-b) = (2 , 0, -1-4) = (2 , 0, -5)
Eje focal: Sobre el eje y
Los planos donde tengamos hipérbolas serán ejes de simetría de la hiperboloide hiperbólica, por lo tanto:
-
En el plano XZ: y = 0 es un eje de simetría
-
En el plano YZ: x = 2 es un eje de simetría
La grafica corresponde a otra hipérbola
Hiperboloide elíptica
La hiperboloide elíptica también es conocido como la hiperboloide de dos hojas. Sa ecuación con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:
-
La formula tiene 2 términos positivos y uno negativo.
-
Está igualada a -1
Si intersecamos la grafica con planos perpendiculares a los ejes podremos observar que al igual que en las hiperboloides elípticas:
-
Los planos que interceptan los ejes positivos se obtienen hipérbolas
-
Los planos que interceptan al eje negativo se obtienen elipses
Nota: La diferencia se halla que en éste tipo de hiperboloides los ejes focales de las hipérbolas siempre estarán sobre el eje negativo
Ejemplos:
Vamos a analizar los elementos y graficar la segunda hiperboloide elíptica a modo de ejemplos:
La grafica corresponde a una elipse imaginaria
Centro: (2, 0, -1)
Haremos que los planos intercepten en el centro de la grafica, por lo tanto:
En el plano XZ: (y = 0)
(x - 2)² + (z + 1)² = -1
9 4
En el plano XY: (z = -1)
(x - 2)² - y² = -1
9 25
- (x - 2)² + y² = 1
9 25
Ejes de simetría de la hipérbola:
1) a² = 9
a = 3
Eje menor en x = 2a = 6
2) b² = 25
b = 5
Eje mayor en y = 2b = 10
Vértices:
a1 = (h+a, k, l) = (2+3 , 0, -1) = (5 , 0, -1)
a2 = (h-a , k, l) = (2 -3, 0 , -1) = (-1 , 0, -1)
b1 = (h, k + b, l) = (2 , 0+5, -1) = (2 , 5, -1)
b2 = (h, k - b, l) = (2 , 0-5, -1) = (2 , -5, -1)
Eje focal: Sobre el eje mayor b
La grafica corresponde a una hipérbola
En el plano YZ: (x = 2)
- y² + (z + 1)²= -1
25 4
y² - (z + 1)²= 1
25 4
Ejes de simetría de la hipérbola:
1) a² = 25
a = 5
Eje mayor en x = 2a = 10
2) b² = 4
b = 2
Eje menor en y = 2b = 4
Vértices:
a1 = (h, k+a, l) = (2 , 0+5, -1) = (2 , 5, -1)
a2 = (h , k-a, l) = (2, 0-5 , -1) = (2 , -5, -1)
b1 = (h, k, l + b) = (2 , 0, -1+2) = (2 , 0, 1)
b2 = (h, k, l - b) = (2 , 0, -1-2) = (2 , 0, -3)
Eje focal: Sobre el eje mayor a
Ejes de simetría de la hiperboloide elíptica:
-
En el plano XY: z =-1 es un eje de simetría
-
En el plano YZ: x = 2 es un eje de simetría
La grafica corresponde a una hipérbola
Un paraboloide es una cuádrica tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuyas formas canónicas son del tipo:
Paraboloide elíptico
Un paraboloide será elíptico cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean del mismo signo, es una cuádrica análoga a la parábola.
-
La formula tiene 2 términos cuadráticos positivos y uno lineal.
-
Está igualada a 0
-
La paraboloide siempre se abrirá en sentido contrario al termino lineal
Ejemplos:
Vamos a analizar los elementos y graficar la segunda hiperboloide elíptica a modo de ejemplos:
(x - 2)² - y + (z + 1)²= 0
4 16
Centro: (2, 0,-1)
En el plano XZ: (y = 0)
(x - 2)² + (z + 1)²= 0
4 16
En el plano XY: (z = -1)
(x - 2)² - y = 0
4
(x - 2)² = 4y
Vértice: (2, 0)
Eje de simetría de la parábola: x = 2
Semi distancia focal p: 4p = 4
p = 1
Foco: f = (h, k+p) = (2. 1)
Directriz: y = k-p
y = -1
En el plano YZ: (x = 2)
- y + (z + 1)²= 0
16
(z + 1)² = 16y
Vértice: (0, -1)
Eje de simetría de la parábola: z = -1
Semi distancia focal p: 4p = 16
p = 4
Foco: f = (h+p, k) = (4. -1)
Directriz: y = k-p
y = -4
Ejes de simetría del paraboloide elíptico:
El paraboloide elíptico contiene dos planos de simetría que coinciden con los ejes de simetría de las parábolas, es decir:
En el plano XY: x = 2
En el plano YZ: z = -1
Plano director:
Así como las parábolas tienen una directriz, el paraboloide elíptico tiene un plano director que está ubicado en la posición de la directriz con mayor distancia al vértice, en este caso y = -4
La grafica corresponde a una elipse imaginaria
La grafica corresponde a una parabola
La grafica corresponde a una parabola
Paraboloide hiperbólico
El paraboloide hiperbólico es una superficie engendrada por el desplazamiento de una parábola generatriz que se desliza paralelamente a sí misma a lo largo de otra parábola directriz de curvatura opuesta situada en su plano de simetría.
Un paraboloide será hiperbólico cuando los términos cuantitativos cuadráticos de su ecuación canónica sean de signo contrario
Ejemplo:
En el plano XY: (z = 0)
x² - y² = 0 Es una hipérbola imaginaria
9 4
En el plano XZ: (y = 0)
x² - z = 0
9
x² = 9z
Es una parábola cóncava hacia arriba que se abre en en eje x
En el plano YZ: (x = 0)
- y² - z = 0
4
y² = -4z
Es una parábola cóncava hacia abajo que se abre en el eje y
Cono elíptico
Un cono elíptico es el cuerpo engendrado por una recta que, pasando continuamente por un punto O, se apoya sobre dos elipses paralelas e iguales situadas simétricamente respecto de un plano que contiene al punto citado.
-
La formula tiene 2 términos cuadráticos positivos y un cuadrático negativo.
-
Está igualada a 0
-
El cono siempre se abrirá desde un punto central paralelamente al eje del término negativo
Ejemplos:
Vamos a analizar los elementos y graficar el segundo cono elíptico a modo de ejemplos:
x² - y² + z²= 0
4 25 9
Centro: (0, 0, 0)
En el plano XZ: (y = 0)
x² + z²= 0
4 9
En el plano XY: (z = 0)
x² - y²= 0
4 25
Para poder graficarla vamos a suponer que esta igualada a 1 y asi tener una hipérbola real
La grafica corresponde a una elipse imaginaria
La grafica corresponde a una hipérbola imaginaria
Ejes de simetría de la hipérbola:
1) a²= 4
a = 2
Eje menor en x = 2a = 4
2) b²=25
b = 5
Eje mayor en y = 2b = 10
Vértices:
a1 = (2, 0, 0) y a2 = (-2, 0, 0)
b1 = (0, 5, 0) y b2 = (0,-5, 0)
La grafica corresponde a una hipérbola imaginaria
Nuevamente para poder graficarla vamos a suponer que esta igualada a 1
En el plano YZ: (x = 0)
-y² + z²= 0
25 9
Ejes de simetría de la hipérbola:
1) a²= 25
a = 5
Eje mayor en y = 2a = 10
2) b²= 9
b = 3
Eje menor en z = 2b = 6
Vértices:
b1 = (0, 5, 0) y b2 = (0, -5, 0)
c1 = (0, 0, 3) y c2 = (0, 0,-3)
Nota como el cono elíptico coincide exactamente con las asíntotas de las hipérbolas
Ejes de simetría del cono elíptico:
El cono elíptico contiene dos planos de simetría que son paralelos a los ejes de los términos positivos, en éste caso como son paralelos al eje x y al eje z tomarían los valores de h y l
En el plano XY: z = l = 0
En el plano YZ: x = h = 0
Cilindro elíptico
Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica (que incluye a los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son iguales) extendiéndose en uno de los ejes x, y , o z.
-
La formula tiene sólo 2 términos cuadráticos positivos que son los que generan la elipse.
-
Está igualada a 1.
-
El cilindro se desplaza paralelamente al eje del término faltante
Ejemplo:
(x + 2)² + (y - 1)² = 1
4 9
Centro: (-2, 1, 0)
En el plano XY:
(x + 2)² + (y - 1)² = 1
4 9
Ejes de simetría:
1) a² = 4
a = 2
Eje menor en x = 2a = 4
2) b² = 9
b = 3
Eje mayor en y = 2b = 6
Vértices:
a1 = (h+a, k, l) = (-2+2 , 1, 0) = (0 , 1, 0)
a2 = (h-a , k, l) = (-2 -2, 1 , 0) = (-4 , 1, 0)
b1 = (h, k, l+b) = (-2 , 1+3, 0) = (-2 , 4, 0)
b2 = (h, k, l-b) = (-2 , 1-3, 0) = (-2 , -2, 0)
La grafica corresponde a una elipse
Planos de simetría:
En el plano YZ: x = -2
En el plano XZ: y = 1
Cilindro hiperbólico
Tomando como directriz una hipérbola, se puede generar una superficie cilíndrica hiperbólica extendiéndose en uno de los ejes x, y , o z..
-
La formula tiene 2 términos cuadráticos que son los que generan la hipérbola: uno positivos y uno negativo
-
Está igualada a 1.
-
El hipérbola se desplaza paralelamente al eje del término faltante
Ejemplos:
Vamos a analizar los elementos y graficar el tercer cilindro hiperbólico a modo de ejemplos:
(y + 2)² - (z - 1)² = 1
25 9
Centro: (0, -2, 1)
En el plano YZ:
(y + 2)² - (z - 1)² = 1
25 9
Ejes de simetría:
1) a² = 25
a = 5
Eje mayor en y = 2a = 10
2) b² = 9
b = 3
Eje menor en z = 2b = 6
Vértices:
a1 = (h, k+a, l) = (0 , -2+5, 1) = (0 , 3, 1)
a2 = (h , k-a, l) = (0 , -2-5, 1) = (0 , -7, 1)
b1 = (h, k, l+b) = (0 , -2, 1+3) = (0 , -2, 4)
b2 = (h, k, l-b) = (0 , -2, 1-3) = (0 , -2, -2)
La grafica corresponde a una hipérbola
Planos de simetría:
En el plano XZ: y = -2
En el plano XY: z = 1
Cilindro parabólico
Tomando como directriz una parábola, se puede generar un cilindro parabólico extendiéndose en uno de los ejes x, y , o z..
x² = 2py
-
La formula tiene un sólo término cuadrático y un término lineal que son los que generan la parábola.
-
El parábola se desplaza paralelamente al eje del término faltante
Ejemplos:
x² = 4y
y² = -4(z - 5)
(z - 5)² = 4x
Vamos a analizar los elementos y graficar el siguiente cilindro parabólico a modo de ejemplos:
(x + 2)² = -6z
Vértice: (-2, 0, 0)
En el plano XZ:
(x + 2)² = -6z
Eje de simetría:
x = -2
Foco:
1) 2p = -6
p = -3
f = (-2, 0, -3)
Directriz:
z = 3
La grafica corresponde a una parábola que se abre en x y es cóncava en z negativo
Como identificar una cuadrática a partir de su ecuación general:
-
Para identificar una cuadrática fácilmente debemos seguir tres criterios:
-
Numero de términos cuadráticos
-
Comparar los signos y valores de los coeficientes cuadráticos, es decir A, B y C
3 términos cuadráticos
3 términos positivos
3 términos iguales
Esfera
1 término diferente
Elipsoide
2 términos positivos y 1 término negativo
Hiperboloide elíptica
Hiperboloide de dos hojas
Cono elíptico
2 términos cuadráticos
Igual signo
Paraboloide elíptico
Cilindro elíptico
Distinto signo
Paraboloide hiperbólico
Cilindro hiperbólico
1 término cuadrático
Cilíndrico parabólico
Ejercicios:
1) Reduzca las siguientes ecuaciones a la forma canónica e identifique la superficie cuádrica.
a) 4𝑥² + 4𝑦² + 𝑧² − 4 = 0
b) −𝑧² − 𝑦² = 𝑥
c) 𝑥² = 𝑦² + 𝑧²
d) 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² + 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0
e) 𝑥² + 4𝑦² + 8𝑥 − 8𝑦 − 4𝑧 + 28 = 0
f) 4𝑥² − 2𝑦² + 𝑧² − 24𝑥 − 4𝑦 + 8𝑧 + 42 = 0
g) 2𝑥² + 𝑦² − 4𝑧² + 2𝑦 + 5 = 0
h) 𝑥² + 𝑦² − 2𝑦 = 0
i) 6𝑥² + 3𝑦² + 2𝑧² + 24𝑥 − 6𝑦 − 12𝑧 + 39 = 0
j) 𝑥² − 4𝑥 − 𝑧 + 6 = 0
k) 𝑥² + 𝑦² − 4𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 + 12 = 0
l) 36𝑥² − 𝑦² + 9𝑧² − 9 = 0
m) 𝑥² = 𝑧² − 2𝑦²
2) Asociar cada grafica con su correspondiente ecuación:
3) Relacione la ecuación con la superficie. Además identifique la cuádrica
1. 𝑥² + 𝑦² + 4𝑧² = 10
2. 9𝑦² + 𝑧² = 16
3. 𝑥² + 2𝑧² = 8
4. 𝑥 = 𝑦² − 𝑧²
5. 𝑥 = 𝑧² − 𝑦²
6. 𝑥² + 4𝑧² = 𝑦²
7.- 𝑧² + 4𝑦² − 4𝑥² = 4
8.- 𝑧² + 𝑦² = 𝑥²
9.- 𝑧² + 𝑥² − 𝑦² = 1
10.- 𝑥 = −𝑧² − 𝑦²
11.- 𝑧 = −4𝑥² −𝑦²
12.- 9𝑥² + 4𝑦² + 2𝑧² = 36
