TRIGONOMETRIA
Funciones trigonometricas de angulos negativos
Si se mide un ángulo en sentido contrario al sentido de giro de las agujas del reloj, se considera positivo. Si se mide en el sentido de giro de las agujas del reloj, se considera negativo.
En esta sección nuestro estudio se centra en calcular las identidades a las funciones trigonométricas de ángulos negativos. Para ello es necesario tener en cuenta las siguientes definiciones:
sen(-α)= - sen(α)
cos(-α)= cos(α)
tg(-α) = -tg(α)
cosec(-α) = 1 = 1 = -cosec(α)
sen(-α) -sen(α)
sec(-α) = 1 = 1 = sec(α)
cos(-α) cos(α)
cotg(-α)= 1 = 1 = -cotg(α)
tg(-α) -tg(α)
Ejemplo:
Sen(-60º)=- Sen(60º)=- √3/2
Cos(-45º)=Cos(45º)= √2/2
sec(-30º)=sec30°
cosec(-270º)=-cosec(270º)=- 1
Ejemplo:
Ángulos complementarios
Definición: Dos ángulos α y ß son complementarios si y solo si la suma de sus medidas es igual a 90°. α + ß=90°
Por lo tanto:
sen α =sen(90°- ß)=cos ß
cos α=cos(90° - ß)=sen ß
tg α=tg(90° - ß)=cotg ß
Ejemplo:
sen 30° = sen(90°-30°) = cos 30° = √3/2
cos 30° = cos(90°-60°) = sen 60° = √3/2
Ángulos que difieren en 90°
sen(90°+ α)=sen ß=cos α
cos(90°+ α) = cos ß=-sen α
tg(90°+ α) =tg(ß)=-cotg α
Ejemplo:
sen 120° = sen(90°+30°) = cos 30° = √3/2
cos 120° = cos(90°+30°) = -sen 30° = -1/2
Ángulos suplementarios
Definición: Dos ángulos α y ß son suplementarios si y solo si la suma de sus medidas es igual a 180°. α + ß = 180°
Por lo tanto:
sen ß = sen(180°- α) = sen α
cos ß = cos(180° - α) = -cos α
tg ß = tg(180° - α) = -tg α
Ejemplo:
sen 150° = sen(180°-30°) = sen 30° = 1/2
cos 150° = cos(180°-30°) = -cos 30° = -√3/2
Ángulos que difieren en 180°
sen ß = sen(180°+ α)=-sen α
cos ß = cos(180°+ α)= -cos α
tg ß = tg(180°+ α)= tg α
Ejemplo:
sen 225° = sen(180°+45°) = -sen 45° = -√2/2
cos 225° = cos(180°+45°) = -cos 45° = -√2/2
Ángulos que suman 270°
sen ß = sen(270°- α)= -cos α
cos ß = cos(270°- α)= -sen α
tg ß = tg(270°- α)=cotg α
Ejemplo:
sen 240° = sen(270°-30°) = -cos 30° = -√3/2
cos 240° = cos(270°-30°) = -sen 30° = -1/2
Angulos que difieren 270°
sen ß = sen(270°+ α)= -cos α
cos ß = cos(270°+ α)= sen α
tg ß = tg(270°+ α)= -cotg α
Ejemplo:
sen 315° = sen(270°+45°) = -cos 45° = -√2/2
cos 315° = cos(270°+45°) = sen 45° =
Ángulos mayores a 360°
Cuando tenemos razones trigonométricas de ángulos que superan los 360 grados, debemos dividir dicho ángulo por 360 y el resto (ß)de la división será el nuevo ángulo con el que trabajaremos. Ejemplo:
sen(390°)= Dividimos 390°:360°
sen(30°)= El resto de la división es: ß=30°
sen(30°)=1/2
Ejercicio
Calculamos sen 135°
sen 135° = sen (180°- 45°)
sen 135° = sen 45°
sen 135° = √2/2
180° - 135° = 45° Trabajamos con el ángulo suplementaria de 135°, que es 45° (un ángulo notable)
sen α = sen ß cuando α y ß son suplementarios
Reemplazo sen 45° por su solución exacta (sin calculadora científica)
1) Resuelve las siguientes operaciones trigonométricas sin usar calculadora:
a. sen(-60º) b. cos(1860°) c. cosec(-45º) d. sec(-180º)
d. tg(780°) e. -sen(-330º) f. – 2Tg²(-135º) g. sen³(-210º)
h. cosec(150º) i. sen(1440°) j. 2Cos(-120º) – 3cosec(-90º) k. tg(120°)
l. cos(210°) m. cotg(270°) n. sen(765°) o. sec(50°)
2) Verifica que:
a. cotg(-45º) + cos(-30º) + tg³(-180º) – cosec²(-60º) = 3√3 - 14
6
b. sen(-1290º) + cos(-3600º) = 3/2
Tan³(-4635º)
c. sen³(-1380º) . sec(-150º) = - 6
tg²(1125º) . cos³60º
d. 3sen(-225°) - 2cos²(-2310°) = 9√2 - 9
2cotg²(300º) - 4cosec³ (-2310º) 196