SISTEMA DE ECUACION
Definición:
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas donde debemos encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Ejemplo:
Solucion: x = 2
y = 3
Si reemplazamos la solución en el sistema para verificar obtenemos:
Primera ecuación:
3x - 4y = -6
3.2 - 4.3 = -6
6 - 12 = -6
-6 = -6
Segunda ecuación:
2 x + 4 y = 16
2.2 + 4.3 = 16
4 + 12 = 16
16 = 16
Se cumplen las igualdades por lo tanto la solución es valida.
El grado de un sistema es la mayor potencia que poseen las variables; cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (x.y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. Esta teoría estará orientada a este tipo de sistema de ecuaciones:
Clasificación de los sistemas
Un sistema de ecuaciones puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones, de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:
Representación gráfica
Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas. Cada ecuación se representa como una recta. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas rectas. Ejemplos:
Ejemplo 1) Dado el sistema:
y = -x + 5
y = x + 1
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Al graficarlo se observa que las rectas interceptan en un único punto, por esta razón es que el sistema es compatible (tiene solución) determinado (su solución se puede determinar y es única)
Analíticamente podemos determinar si el sistema es compatible determinado si dado un sistema de ecuaciones
a1 ≠ b1
a2 b2
se debe cumplir que
Ejemplo 2) Dado el sistema:
x - y + 1 = 0
y = x + 1
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Al graficar se observa que ambas ecuaciones representan una misma función lineal por lo tanto, todos los puntos de las rectas se interceptan. Por esta razón el sistema es compatible (tiene solución) indeterminado (las soluciones son infinitas)
Analíticamente podemos determinar si el sistema es compatible indeterminado si dado un sistema de ecuaciones
a1 = b1 = c1
a2 b2 c2
se debe cumplir que
Ejemplo 3) Dado el sistema:
y = x + 3
y = x + 1
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Al graficar el sistema se observa que ambas rectas son paralelas, por lo tanto nunca se intersecarán. Por esta razón el sistema es Incompatible (no tiene solución)
Analíticamente podemos determinar si el sistema es compatible determinado si dado un sistema de ecuaciones
a1 = b1 ≠ c1
a2 b2 c2
se debe cumplir que
Metodos de resolucion
Existen dos formas de resolver un sistema de ecuaciones; una es a travez de diferentes metodos analiticos, esto es, aplicar pasos algebraicos bien definidos haciendo uso de diferentes propiedades matematicas. La otra forma es a travez de un metodo grafico, esto es, graficar las funciones que componen el sistema en un mismo sistema de ejes cartesianos.
Metodo Grafico:
Ejemplo.
Para graficar el sistema debemos despejar la variable "y" para dejar las funciones lineales en la forma "y = ax + b"
Ecuación 1)
Ecuación 2)
x - y = 5
-y = 5 - x
y = - ( 5 - x)
y = -5 + x
y = x - 5
2x + y = 1
y = 1 - 2x
y = -2x + 1
Al graficar las funciones observamos que se interceptan en el punto de coordenadas (x,y) = (2,3); esto significa que la solución al sistema es: x = 2
y = -3
Podemos verificar reemplazando la solución en el sistema
2x + y = 1 x - y = 5
2.2 + (-3) = 1 2 - (-3) = 5
4 - 3 = 1 2 + 3 = 5
1 = 1 5 = 5
Nota: Recomiendo repasar función lineal
Metodos Analiticos:
-
Metodo de sustitucion
Este metodo consiste en despejar una variable de una ecuacion y sustituirla en otra. Ejemplo:
Primero debemos despejar una variable x o y de cualquier ecuación. En este caso resulta sencillo despejar la variable y de la primera ecuación:
3x + y = 1
y = 1 - 3x
Como despejamos y de la primera ecuación, ahora debemos trabajar con la segunda:
4x - 2 y = 18
4x - 2 + 6x = 18
10x = 20
x = 2
Aplicamos propiedad distributiva y despejamos la variable
Sustituiremos la variable y por el miembro que resulto de despejar y en la primera (1 - 3x)
Con esto logramos obtener una ecuación con una sola variable (x) que podemos resolver:
4x - 2(1-3x) = 18
Ya encontramos el valor de x = 2 que debemos sustituir en cualquier ecuación
y = 1 - 3x
y = 1 - 3.2
y = -5
Queda en uds. hacer la correcta verificación.
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones haciendo uso del metodo de sustitucion y grafica
-
Metodo de igualacion
Este metodo consiste en despejar una misma variable de ambas ecuaciones e igualarlas. Ejemplo:
Despejamos la "y" de ambas ecuaciones
3x + y = 7
y = 7 - 3x
x + y = 1
y = 1 - x
Igualamos:
Con esto logramos crear una ecuación con una única variable (x) que podemos resolver
y = y
7 - 3x = 1 - x
- 2x = -6
x = 3
Ya encontramos el valor de x = 3 que debemos sustituir en cualquier ecuación
y = 1 - x
y = 1 - 3
y = -2
Queda en uds. hacer la correcta verificación.
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones haciendo uso del metodo de igualacion y grafica
-
Metodo de reduccion
Este metodo consiste en igualar los factores de alguna variable para que, al restar miembro a miembro, esas variables se cancelen. Ejemplo:
2x + 2y = 40
2x - 2y = 8
0 + 4y = 32
y = 8
Multiplicamos la primera ecuación por 2 para tener iguales coeficientes en x
Restamos miembro a miembro
Con esto logramos obtener una ecuación con una única variable que podemos despejar
Ya encontramos el valor de y = 8 que debemos sustituir en cualquier ecuación
x + y = 20
x + 8 = 20
x = 12
Queda en uds. hacer la correcta verificación.
Nota: Para hacer uso de este metodo recomiendo repasar previamente Suma y Resta de Polinomios
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones haciendo uso del metodo de reduccion y grafica
Metodo de determinante
Un determinante es un arreglo rectangular de filas y columnas, donde los elementos son los coeficientes de las ecuaciones que forman el sistema
Nota: Los números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes.
Ejemplo:
Antes de armar los determinantes debemos asegurarnos de que nuestro sistema este ordenado como en el ejemplo, esto es: los términos de cada variable alineados entre si en el 1er miembro, y los términos independientes en el otro miembro.
Primero calcularemos el determinante general usando los coeficientes de las variables x e y con sus respectivos signo.
Para calcular el determinante general debemos multiplicar los coeficientes de la Diagonal principal, y restarle el producto de los coeficientes de la Diagonal secundaria.
Ahora debemos calcular el determinante de x, para hacer esto escribiremos en la primera columna, los términos independientes (6 y 4) y en la segunda columna los coeficientes de "y"
Calculamos el determinante como lo hicimos anteriormente: producto de la primera diagonal menos el producto de la diagonal secundaria
Nota: No confundir el determinante de x con el valor de la variable
Para encontrar el valor de la variable x debemos dividir el determinante de x con el determinante general
Para calcular el determinante de y ubicaremos en la primera columna los coeficientes de x, y en la segunda columna los términos independientes (6 y 4)
Calculamos el determinante: producto de la primera diagonal menos el producto de la diagonal secundaria
Para encontrar el valor de la variable y dividimos el determinante de y con el determinante general.
Queda en uds. hacer la correcta verificación.
Si bien este método aparenta ser un poco mas complicado que los anteriores, con un poco de practica algunos lo llegaran a considerar el método preferido mas aún, sabiendo que éste método no se limita a sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, veremos a continuación como trabajar con este método para cualquier sistema de ecuación lineal. Ejemplo:
Como se observa, el sistema esta compuesto por tres ecuaciones con tres incógnitas
Armamos el determinante general con los coeficientes de cada termino de las ecuaciones
Para resolverlo debemos extender el determinante tantas filas hacia abajo como sean necesarias para completar las diagonales.
Luego debemos sumar el producto de los valores de las diagonales principales y restar el producto de los valores de las diagonales secundarias.
3.3.(-1) + 5.1.1 + 1.2.4 - 1.3.1 - 4.1.3 - (-1).2.5 =
-9 + 5 + 8 - 3 - 12 + 10 = -1
Para calcular el determinante de x reemplazaremos los coeficientes de la primera columna por los términos independientes
Extendemos el determinante para poder formar las tres diagonales primarias y las 3 diagonales secundarias
Calculamos:
Det x = 1.3.(-1) + 2.1.1 + 1.2.4 - 1.3.1 - 4.1.1 - (-1).2.2
= -3 + 2 + 8 - 3 - 4 + 4
Det x = 4
1 2 1
Det x = 2 3 4
1 1 -1
1 2 1
2 3 4
Teniendo el determinante de "x" y el determinante general podemos hallar "x":
x = Determinante de x = 4 = -4
Determinante gral -1
Calculamos:
Det y = 3.2.(-1) + 5.1.1 + 1.1.4 - 1.2.1 - 4.1.3 - (-1).1.5
= -6 + 5 + 4 - 2 - 12 + 5
Det y = -6
3 1 1
Det y = 5 2 4
1 1 -1
3 1 1
5 2 4
Extendemos el determinante para poder formar las tres diagonales primarias y las 3 diagonales secundarias
Para calcular el determinante de y reemplazaremos los coeficientes de la segunda columna por los términos independientes
Teniendo el determinante de "y" y el determinante general podemos hallar "y":
y = Determinante de y = -6 = 6
Determinante gral -1
Calculamos:
Det z = 3.3.1 + 5.1.1 + 1.2.2 - 1.3.1 - 2.1.3 - 1.2.5
= 9 + 5 + 4 - 3 - 6 - 10
Det z = -1
3 2 1
Det z = 5 3 2
1 1 1
3 2 1
5 3 2
Extendemos el determinante para poder formar las tres diagonales primarias y las 3 diagonales secundarias
Para calcular el determinante de z reemplazaremos los coeficientes de la tercera columna por los términos independientes
Teniendo el determinante de "z" y el determinante general podemos hallar "z":
z = Determinante de z = -1 = 1
Determinante gral -1
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones haciendo uso del método de determinante y grafica
Resuelve los siguientes problemas:
1. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 100, si las patas, son 230.¿Cuántos animales hay de cada clase?
Sol: gallinas 85 y 15 conejos
2.Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?
Sol: 22 preguntas correctas y 8 incorrectas
3. En mi clase hay 30 alumnos. Marta ha regalado por su cumpleaños 2 chupetines a cada chica y 1 a cada chico. Si en total ha regalado 49 chupetines ¿cuántos chicos y chicas hay en mi clase?
Sol: 19 chicas y 11 chicos
4. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando $2070. El primero le pagaba $65 diarios y el segundo $80. ¿Cuantos días trabajó para cada patrón?
Sol: 8 el de $65/día y 22 el de $80/día
5. Con $100 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 sachets de leche entera y leche semidescremada por un total de $96. Si el sachet de leche entera cuesta $11,5 y el de semidescremada $9. ¿Cuántos sachets ha comprado de cada tipo?
Sol: 6 sachets de leche entera y 3 sachets de leche semidescremada