RAZÓN Y PROPORCION
Razon
Un jugador de basquet realiza 18 anotaciones en 45 tiros, otro anota 6 veces en 15 tiros. ¿Cual es mejor jugador?
Una razón es una division entre dos números y se puede escribir de la siguiente forma: 18:45 o 18/45 y se lee "18 es a 45", donde 18 es el antecedente y 45 es el consecuente. Si calculamos el valor de la razón entre las anotaciones y los tiros de ambos jugadores obtenemos:
Jugador 1: 18/45 = 0,4
Jugador 2: 6/15 = 0,4
Vemos que en ambos jugadores la razón es la misma, 0,4 o 4/10 expresado en fraccion, o 2/5 si simplificamos.
Esto significa que los jugadores encestan 4 veces cada 10 tiros, o encestan 2 veces cada 5 tiros.
Podríamos completar el siguiente cuadro:
N° de anotaciones: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
N° de tiros: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
No podemos decir que un jugador es mejor tirador que el otro, ya que la razón entre las anotaciones y la cantidad de tiros es la misma en ambos jugadores,anotan 2 veces cada 5 tiros cada uno.
Proporcion
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Definicion: Una proporcion es una igualdad entre dos razones y se lee a es a b como c es a d.
Sus elementos se denominan extremos y medios; y el resultado "k" de dichas razones se denomina constante de proporcion
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Proporción discontinua u ordinaria: se la denomina así cuando los medios son distintos.
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Proporción continua: se la denomina así cuando los medios son iguales.
Ejercicio: Verificar si los siguientes pares de razones forman una proporcion.
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Propiedades:
1) El producto de medios es igual al producto de extremos, es decir: a.d = b.c
Nota: Esta propiedad no es mas que un pasaje te terminos de los denominadores de la definicion, es decir, b y d que dividen pasan al otro miembro multiplicando
2) La suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a la constante de proporcionalidad.
a = c = a + c = k
b d b + d
3) La suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .
a = c → a + b = c + d
b d b d
a = c → a - b = c - d
b d b d
4) La suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .
a = c → a + b = c + d
b d a c
a = c → a - b = c - d
b d a c
5) La suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .
a = c → a + b = c + d
b d a - b c - d
Ejercicios:
Resuelve las siguientes situaciones problematicas:
a) La suma de las edades de Carina y Marcela es 33 y la division entre ambas es 4/7. ¿Que edad tiene cada una?
b) Los promedios de vida de la tortuga y el elefante suman 100 años, y su relacion es 2/3. Calcular los promedios de cada animal.
c) La altura del Everest es a la altura del Aconcagua como 9 es a 7. Averiguar las alturas de cada montaña si se sabe que la diferencia entre ellas es de 2000 mmetros.
d) La razon entre la distancia tierra-luna y de la tierra-sol es de 1/392. Si la distancia tierra-sol es de unos 150 millones de kilometros, calcular la distancia desde la Tierra a la Luna.
Tipos de Proporciones:
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Cuarta Proporcional: En una proporción, si a, b, c, d son distintos, se dice que la proporción es discontinua u ordinaria y llamamos cuarto proporcional a cualquier termino a, b, c y d de la proporcion.
Ejemplo: Calcular una cuarta proporcional entre 2, 3 y 8
Armamos una proporcion 2 = 8
3 x
Aplicamos la propiedad fundamental 2.x = 8.3
Despejamos x y resolvemos x = 12
Nota: El valor que encontramos es una cuarta proporcional, eso significa que podriamos haber encontrado otro valor si hubiesemos armado una proporcion diferente como por ejemplo 2 = x y el valor de x sera diferente al que encontramos anteriormente. 8 3
Ejercicios: Calcula una cuarta proporcional entre:
a) 6 ; 15 y 18
b) 6, 10 y 15
c) 2/3 ; ¾ y 4
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Tercera Proporcional: En una proporción, si los términos medios son iguales y los externos son distintos, se dice que la proporción es continua y que los términos externos son tercera proporcional.
Ejemplo: Calcula una tercera proporcional entre 3 y 4
Armaremos las dos proporciones posibles 3 = 4 o 4 = 3
4 x 3 x
Aplicamos la propiedad fundamental 3.x = 4.4 4.x = 3.3
Despejamos x y resolvemos x = 16/3 x = 9/4
Ejercicios: Calcula una tercera proporcional entre:
a) 4 y 6
b) 6 y 18
c) 2/5 y 4/5
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Media Proporcional: En una proporción continua, los terminos medios son iguales y se llaman media proporcional.
Ejemplo: Calcula la media proporcional entre 9 y 4
Armamos la unica proporcion posible
Aplicamos la propiedad fundamental
Despejamos x y resolvemos
Ejercicios: Calcula la media proporcional entre:
a) 2 y 32
b) 12 y 48
c) 5/9 y 1/5
