PROGRESION
Sucesión
Antes de hablar de progresiones, debemos primero definir lo que es una sucesión:
Una sucesión o secuencia de elementos es un conjunto ordenado de números, figuras o términos (denotados como a1, a2, a3, ..., an) que siguen un patrón o regla específica, donde cada elemento ocupa una posición numérica natural definida. Estas secuencias pueden ser finitas o infinitas y se caracterizan por el orden, pudiendo repetirse elementos.
Ejemplos:
Conjunto de todos los números pares positivos: (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...)
Los puntos suspencivos indican que el conjunto es infinito
Los primeros 6 números impares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11)
Los primeros 5 números primos: (2, 3, 5, 7, 11)
Los primeros 7 números correspondientes a la serie de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13)
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada elemento del conjunto es el resultado del elemento anterior sumado una constante d llamada razón
Ejemplo:
En toda progresión aritmética en importante identificar:
Cantidad total de elementos que forman la progresión (en caso de ser una serie finita) En este caso el conjunto está formado por 5 elementos, o sea: n=5
El primer elemento a
La constante razón d
Teniendo esos 3 datos podemos hallar cualquier término an de la progresión y la suma total de todos sus elementos Sn
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Para hallar la razón d solo debemos restar cualquier elemento n menos el anterior:
Formula: an - a(n-1)
9 - 7 = 2
-
Para hallar cualquier elemento an usaremos la siguiente formula:
a2 = 3 + (2-1)2
a2 = 3 + 1 . 2
a2 = 5
a3 = 3 + (3-1)2
a3 = 3 + 2 . 2
a3 = 7
a4 = 3 + (4-1)2
a4 = 3 + 3 . 2
a4 = 9
Para encontrar el segundo término debemos sumar al 1er elemento (3) una vez d, es decir 2
Para encontrar el tercer término debemos sumar al 1er elemento (3) 2 veces d, es decir 2
Para encontrar el 4to término debemos sumar al 1er elemento (3) 3 veces d, es decir 2
Como se observa, para encontrar cualquier elemento n siempre debemos sumar al 1er elemento (n-1) veces la constante d
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Para calcular la suma Sn de todos los elementos debemos usar la siguiente fórmula:
Ejercicios
Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión de números donde cada elemento del conjunto es el resultado del elemento anterior multiplicado por una constante r llamada razón
Ejemplo:
Al igual que en la progresión aritmética, en importante identificar:
Cantidad total de elementos n que forman la progresión, primer elemento, y constante r
Teniendo esos 3 datos podemos hallar cualquier término an de la progresión y la suma total de todos sus elementos Sn
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Para hallar la razon r solo debemos dividir cualquier elemento n menos el anterior:
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Para hallar cualquier elemento an usaremos la siguiente formula:
Ejemplo:
Como se observa, para encontrar cualquier elemento n siempre debemos multiplicar al 1er elemento la razón r a la (n-1)
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Para calcular la suma Sn de todos los elementos debemos usar la siguiente fórmula:
Ejemplo:
Ejercicios
