FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCION TANGENTE
Definicion: Se denomina función tangente, y se denota f(x) = tg(x), a la aplicación de la razón trigonométrica tangente a una variable independiente x expresada generalmente en radianes. Su representacion grafica es:
Caracteristicas:
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Es una funcion periodica, es decir que repite un ciclo. Llamamos Periodo al tamaño de un ciclo, en este caso es de π
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No es una funcion acotada, por lo tanto, el rango de toda funcion tangente es el conjunto de todos los numeros reales; Rgo f = lR.
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Los periodos estan separados por asintotas verticales, asique la funcion no es continua. Su dominio es el conjunto de los numeros reales menos los valores de x por donde intersectan las asintotas. En simbolo:
Análisis de los coeficientes:
Ejemplo 1)
Dada la función tangente f(x)=A.tg(x) notamos en la grafica que cuanto mayor sea el valor del coeficiente A, la grafica de la función se "estira" mas
Si A > 0 la función es creciente en todo su dominio
Si A < 0 la función se "refleja" de derecha a izquierda, y la función es decreciente en todo su dominio
Ejemplo 2) f(x)=tg(1/2x)
Dada la funcion tangente f(x)=A.tg(Bx) El coeficiente "B" se denomina pulsacion y determina cuantos ciclos hay en un π, por lo tanto, cuanto mas grande sea la pulsacion, mas pequeño será el periodo. Con él podemos determinar el periodo, para saber su tamaño debemos dividir π/B, por lo tanto: π: 1/2= 2π. Es decir que la grafica tendra un periodo igual a 2π. Teniendo solo el tamaño del periodo no nos basta para graficar la funcion, ademas debemos determinar la ubicacion de las asintotas.
Determinar las Asíntotas Verticales:
Dado que tg x = sen x
cos x
y no existe la división en
cero, debemos igualar el denominador de la función a cero, es decir:
La variable independiente "x" no puede tomar el valor π. Por lo tanto en x = π tenemos una asíntota vertical. Para encontrar las siguientes asíntotas solo debemos sumar o restar el periodo:
Ejemplo 3) g(x)=tg(x-π/4)
Dada la funcion f(x) = A.tg(Bx - C) llamamos "angulo de fase" a la division de C/B y determina el desplazamiento horizontal de la grafica.
Por lo tanto el angulo de fase del ejemplo es C=π/4 y determina un desplazamiento de la funcion elemental π/4 unidades hacia la derecha.
Ejemplo 4) g(x) = tg(x) - 2
Dada la funcion f(x)=tg(x)+D, el termino independiente D determina un desplazamiento vertical de la funcion tangente elemental
Por lo tanto en este ejemplo, la funcion elemental se desplazara dos unidad hacia abajo.
Análisis completo de la función:
Dada la función y = 3tg (2x -π/2) - 1 determinaremos todos sus elementos, grafica, dominio, rango e intersecciones con los ejes.
Para poder graficar la funcion primero debemos analizar todos los coeficientes empezando por:
1) Tamaño del periodo: π/B, es decir, π/2
2) Ubicacion de las asintotas:
Con estos datos ya podemos dibujar la función, recordemos que como A > 0, la grafica será creciente.
Antes de graficar la funcion debemos graficar las asintotas verticales.
Luego ubicaremos el punto medio del periodo, a la altura de D (desplazamiento vertical)
A partir de esos puntos que se observan en la grafica de color azul, podemos bosquejar la grafica de la funcion tangente.
Intersecciones con los ejes
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Intersección con el eje y: Calculamos f(0)
x=0 no pertenece al dominio de la función, por lo tanto y=f(0) no existe.
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Intersecciones con el eje x - Ceros o Raíces: Calculamos f(x)=0
Teniendo un cero solo hace falta sumar o restar el periodo para encontrar los ceros en los demas ciclos
Ejercicios:
1) Determina las ecuaciones de las funciones tangentes de las siguientes graficas:
2) Estudia y representa las siguientes funciones trigonométricas:
a) y = tg(x) b) y = -tg(x)
c) y = tg(2x) d) y = tg(1/2x)
e) y = tg(x+1/4π) f) y = -tg(x) + 1
g) y = tg(x+1/4π) + 1 h) y = tg(2x+4π) + 3