Funcion coseno | aprendematematica

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCION COSENO

Definicion: Se denomina función coseno, y se denota f(x) = cos (x), a la aplicación de la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada generalmente en radianes. Su representacion grafica es:

Caracteristicas:

Es una funcion periodica, es decir, se repite un ciclo. Llamamos Periodo al tamaño de un ciclo, en este caso es de 2π
Es una funcion acotada, es decir, posee un valor maximo y un valor minimo, en este caso 1 y -1 respectivamente.

Llamamos amplitud a la altura que tiene la grafica a partir de su eje central, en este caso su altura es 1

Es continua, por lo tanto su dominio siempre será el conjunto de todos los números reales. Dom f= lR

Ejemplo 1) f(x) = 3 cos(2x)

Dada la función f(x) = A.cos(Bx)

1) El coeficiente "A" determina la amplitud de la grafica, por lo tanto, en este ejemplo la amplitud de la función es A=3

2) El coeficiente "B" se denomina pulsación y determina cuantos ciclos hay en 2π, por lo tanto, cuanto mas grande sea la pulsación, mas pequeño será el periodo. Con él podemos determinar el periodo, para saber su tamaño debemos dividir 2π/B, por lo tanto: 2π/2= π. Es decir que la grafica tendra un periodo igual a π. Ya podemos graficar la funcion:

Primero determinamos el área donde la grafica realiza un ciclo completo con:

Periodo = π

Amplitud =3

Dividimos el periodo en 4 partes iguales:

1/4π, 1/2π, 3/4π y π

Marcamos 5 puntos:

Si el coeficiente A > 0, el primer punto del ciclo estará ubicado en el eje superior de la función, es decir, (0, 3)

El segundo sobre el eje central, en (1/4π, 0)

El tercero sobre el eje inferior, en (1/2π, -3)

El cuarto nuevamente sobre el eje central, en (3/4π, 0)

El ultimo que es el primero del siguiente ciclo nuevamente sobre el eje superior, en (π, 3)

Ejemplo 2) f(x) = -cos(x)

En este ejemplo, dado que A<0, el 1er punto del ciclo esta ubicado sobre el eje inferior.

Ejemplo 3) f(x) = cos(x + π/2)

Dada la función f(x) = A.cos (Bx - C) llamamos "ángulo de fase" a la división de C/B y determina el desplazamiento horizontal de la grafica

Por lo tanto el ángulo de fase del ejemplo es C=π/2 y determina un desplazamiento de la función elemental π/2 unidades hacia la izquierda.

Su grafica será:

Ejemplo 4) f(x) = cos (x) + 1

Dada la función f(x)=cos(x)+D, el eje central de la grafica elemental sufrirá desplazamiento vertical D unidades hacia arriba o hacia abajo

Por lo tanto en este ejemplo, el eje central de la funcion elemental se desplazara una unidad hacia arriba. Su grafica será:

Analisis completo de la funcion:

Dada la funcion "y = 3cos(1/2x -π/2) - 1" determinaremos todos sus elementos, grafica, dominio, rango e intersecciones con los ejes.

Para poder graficar la funcion primero debemos analizar todos los coeficientes empezando por:

1) D=-1 por lo tanto el eje central de la grafica intersecta al eje de las ordenadas en y=-1

2) La amplitud es A=3 por lo tanto la grafica tendra una altura de 3 unidades hacia arriba del eje central y 3 unidades hacia abajo.

3) Para determinar el periodo debemos dividir 2π por la pulsacion B, es decir: 2π : 1/2 = 4π

4) Por ultimo debemos analizar el desplazamiento horizontal dado C=π/2 y B=1/2, C/B = π, por lo tanto el area del 1er ciclo debemos desplazarlo π unidades hacia la derecha

Con estos datos ya podemos dibujar el area de un primer ciclo, recordemos que debemos dividir el periodo en 4 partes iguales para determinar los puntos en los ejes. Como A>0, el 1er punto del ciclo estará sobre el eje superior.

Intersección con los ejes

Intersección con el eje y: Calculamos f(0)

Intersecciones con el eje x - Ceros o Raíces: Calculamos f(x) = 0

Los valores encontrados son los primeros ceros a la derecha del origen de coordenadas, para encontrar todos los ceros restantes debemos sumarle o restarle el periodo. Por lo tanto los ceros serán:

xn= 0,22π + 4kπ, y

xn= 1,78π + 4kπ, con k perteneciente a los enteros

Ejercicios:

1) Estudia y representa las siguientes funciones trigonométricas:

a) y = cos(x) b) y = 2cos(x)

c) y = -2cos(x) d) y = cos(2x)

e) y = cos(x+1/4π) f) y = cos(x) + 1

g) y = cos(x+1/4π) + 1 h) y = 2cos(x+1/4π) + 1