Funcion cuadratica

Definicion

Una función cuadrática es una funciones polinómicas de segundo grado. La ecuacion, en su forma polinomica es de la forma:

Ejemplos: A(x)=3x²+5x-8 B(x)=-2x²-7x+1 y=x²-1 C(x)= -x²

Nota: Si el coeficiente cuadratico valiera cero, a=0 el termino cuadratico se anularia y la funcion quedaria de primer grado, es decir, una funcion lineal

La grafica de una funcion cuadratica es una parabola.

Ejemplo:

Analisis de la funcion

Dominio

Por tratarse de una funcion polinomica, el conjunto dominio siempre esta compuesto por todos los reales

Concavidad

Dada cualquier funcion cuadratica f(x) = ax²+bx+c:

Si el coeficiente cuadratico a es positivo, a > 0, la grafica de la funcion sera concava hacia arriba.

Si el coeficiente cuadraticao es negatico, a < 0, la grafica de la funcion sera concava hacia abajo

Vertice

El vertice es el punto que pertenece a la grafica de la funcion donde cambia el crecimiento de la parabola. Sus coordenadas son nombradas como V = (xv,yv) o V = (h, k)

Determinar el vertice a partir de la funcion en su forma polinomica f(x) = ax²+bx+c

Como primer paso encontramos xv con la siguiente formula: xv = -b

Para hallar el valor de yv reemplazamos en la funcion la variable dependiente x por xv

Ejemplo: y = 2x² - 8x + 9

Buscamos xv con la formula:

xv = -b entonces, xv = -(-8) = 8 = 2

2a 2.2 4

Ahora para hallar el valor de yv reemplazamos xv en la funcion:

f(x) = 2 x² - 8x + 9

f(2) = 2.2² - 8.2 + 9

yv = 2.4 - 16 + 9

yv = 8 - 16 + 9

yv = 1

Por lo tanto el vertice de la parabola es V=(2,1)

Eje de simetria

El eje de simetria es una recta vertical imaginaria que divide la parabola en dos partes iguales. Su formula es x = xv

Siguiendo el ejemplo, el eje de simetria de la parabola es: x = 2

Valor maximo o minimo de la funcion

Si la grafica es concava hacia arriba, yv es el valor minimo de la funcion

Si la grafica es concava hacia abajo, yv es el valor maximo de la funcion

Rango

Si la grafica es concava hacia arriba, su rango sera: Rango = [yv , ∞)

Si la grafica es concava hacia abajo, su rango sera: Rango = (-∞ , yv]

El rango del ejercicio es: Rango = [1 , ∞)

Intersecciones con los ejes

Ordenada al origen: Calculamos f(0)

f(x) = 2x² - 8x + 9

f(0) = 2.0² - 8.0 + 9

y = 9

Raices o ceros: Igualamos f(x)=0

2x² - 8x + 9 = 0

Para resolver una ecuacion cuadratica debemos hacer uso de la formula de Bascara, esta es:

El radicando de la formula se denomina discriminante y se simboliza como: ∆= b² - 4ac

Dependiendo de como sea el discriminante, la grafica de la funcion tendra una, dos, o ninguna raiz

Resolviendo nuestra función:

2x² - 8x + 9 = 0

Aplicamos la formula de Bhaskara

El discriminante de la formula es negativo. Como una raiz par con radicando negativo no tiene solucion en el conjunto de los numeros reales la formula cuadratica en este caso no tiene solucion, es decir, la grafica de la funcion no tiene raices.

Positividad

La funcion es positiva en todo su dominio.

Ecuacion de la funcion en forma factorizada

Si la formula cuadratica tiene solucion x1 y x2, es decir, la grafica de la funcion tiene raices, podemos escribir la ecuacion de la funcion cuadratica en su forma factorizada:

f(x) = a.(x-x1).(x-x2)

Ejemplo: y = x² - 4x + 3

Aplicamos la formula de Bhaskara

Reemplazamos por los valores de nuestra función:

a= 1

b=-4

c= 3

Resolvemos

Aplicamos la forma factorizada y reemplazamos por los valores encontrados

Separamos la formula en dos:

x1 = suma en el numerador

x2 = resta en el numerador

Nota: La forma factorizada lleva las raíces cambiadas de signo

La grafica de la función es:

Ecuacion de la funcion en forma canonica

f(x) = a.(x - h)² + k

Donde:

a determina la concavidad de la parabola como ya vimos anteriormente

h y k conforman el vertice, es decir, V = (h,k)

Para armar la ecuacion de la funcion en forma canonica partiendo de la forma polinomica debemos completar cuadrado.

Ejemplo:

El primer paso para completar cuadrado es sacar factor común del primer y segundo termino, el factor que sacaremos es a, en este caso a = -1

Dentro del paréntesis tenemos dos términos, el objetivo que queremos lograr es convertir esa expresión en un trinomio cuadrado perfecto, para ello calculamos la mitad de b (b=4)

Completamos el paréntesis haciendo uso de la propiedad uniforme, esto es, sumamos y restamos un mismo numero para no alterar la expresión (en este caso, 2²)

Completamos el paréntesis pero ahora tenemos 4 términos (y queremos 3) así que debemos extraer el ultimo termino del paréntesis con propiedad distributiva -1.(-4) = 4

Ahora si ya tenemos un trinomio, verifiquemos si es un trinomio cuadrado perfecto:

Calculamos la base del termino cuadrático= x y la base del termino independiente= 2

Verificación: El doble producto del 1ro por el 2do: 2.x.2 = 4x = 2do termino (termino lineal), por lo tanto el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto, podemos factorizar: x²- 4x + 4 = (x-2)²

Por ultimo sumamos los términos que quedaron fuera del paréntesis y listo! ya tenemos la ecuación canónica de la función cuadrática:

a=-1 Por lo tanto la parábola será cóncava hacia abajo

h=2 y k=1 por lo tanto el vértice será V = (2,1)

Importante: h siempre será de signo opuesto al encontrado en la ecuación canónica

La grafica de la función es:

Ejercicio

Dadas las siguientes funciones:

1) Escribirlas en forma canónica y factorizada

2) Dar dominio e imagen

3) Graficar, determinar eje de simetría, raíces y ordenada al origen

y = x² – 4x + 3

y = -2x² + 4x + 6

y = 2x² -8x + 6

y = -x² + 2x + 3

y = 1 x² - 1 x + 1

3 3 12