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RAZÓN Y PROPORCION

Proporcionalidad directa
Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante.

Ejemplo:

Si 1 kg de pan cuesta $5 completar el cuadro:

 

Kg de Pan      1      2      3      4       5        6 

Precio           5    10     15    20    25       30

 

Si hacemos la razon Precio =k obtenemos siempre 5

                                  kg

Como vimos anteriormente k = 5 es la constante de proporcionalidad.

 

La funcion que describe una proporcionalidad directa es: "y = k.x" donde "y" es la variable dependiente y "x" es la variable independiente.

En nuestro ejemplo x = Kg de pan e y = Precio por lo tanto nuestra funcion queda definida como:

                                        y = 5x

 

Como se observa la grafica es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

Ejercicios:

Determina las variables x e y. Confecciona una tabla de valores. Encuentra la constante de proporcionalidad. Define la funcion que relaciona las variables y grafica.

 

1) Por cada 5 kilogramos de peso en una persona, aproximadamente 2 kilogramos son de músculo. Calcular cuanto pesan los músculos en una persona de 4kg, 62kg, 85kg. Determina la funcion que muestra los kg de musculo en funcion del peso y grafica.

 

2) El precio por galón de gasolina es de $3250. Indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones

 

3) Juan entrena ciclismo. La  siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla

 

                        N Vueltas     Tiempo

                               4                      12

                                8                 .....

                             ....                 35

                           20                 .....

                           23                 .....

                            ....                  50

                           30                 .....

 

4) En la clase de Juan 15 estudiantes deciden hacer una excursión y compran comida suficiente para 10 días. ¿Cuantos dias podran quedarse si van menos alumnos? 

 

                Nª DE ESTUDIANTES         Nª DE DIAS

                               15                               10

                               10                               ....

                                 8                               ....

                                 5                               ....

 

 

Proporcionalidad inversa
Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

Nro de  obreros     2        4        6        8

Dias                       6        3        2       3/2

 

Ya vimos que la propiedad de las proporciones inversas es que el producto de sus variables es constante, es decir:

                              x.y = k

 

Si despejamos "y" obtenemos la funcion:

                              y = k

                                   x

 

Por lo tanto la funcion de nuestro ejemplo sera:

                              y = 12

                                    x

 

Su grafica se denomina Hiperbola

En una proporcionalidad inversa a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.
 

Ejemplo:

Dos obreros demoran 6 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4, 6, y 8 obreros?

La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

Entonces, 2.6 = 12 (constante k) por lo tanto para averiguar cuantos dias demoraran 4, 6, y 8 obreros deberemos calcular:

 

               4.x = 12 --> x = 3

               6.x = 12 --> x = 2

               8.x = 12 --> x = 3/2

Ejercicios:

 

1) Si al cortar una cinta en trozos de 24 cm obtengo 5 trozos, completar los elementos faltantes, determinar la función y graficar.

                   Nº de trozos   Longitud del trozo

                             5                        24

                         30                        .....

                         .....                          6

                           4                        .....

 

2) En  una camioneta puede transportar 280 litros de agua. determinar la capacidad y el número de garrafas que puedan llevarse en cada caso, determinar la función y graficar.

 

CAPACIDAD DE GARRAFA (L)    Nª DE GARRAFAS

                     28                                      10

                     .....                                      20

                     40                                      .....

                     70                                      .....  

                     .....                                        2

 

3) La tabla describe la relación entre el número de obrero y el número de días que tardan en hacer un trabajo, determinar la función y graficar.

 

             OBREROS           DIAS

                    6                     30

                  12                     ....

                  ....                     10

                 40                     ....

 

4) Santiago dispone de $120000 para comprar algunos pantalones. Al llegar al almacén observa que hay pantalones de $4800, $5000, $6000, $8000 y $10000. Completa la tabla para saber cuántos pantalones podría llevar de una sola clase.

5) En los siguientes cuadros correspondientes a magnitudes proporcionales se pide:

  • Determinar si son directa o inversamente proporcionales

  • Encuentre la constante de proporcionalidad

  • Determine la función que describe la relación entre magnitudes

Regla de tres simple:

La regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita.

Podemos encontrar dos clases:

 

1) PROPORCION DIRECTA

  • Un automóvil recorre 120 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 5 horas si mantiene la misma velocidad?

3 hrs             120 km             Se lee: Si en 3 hrs recorre 120 km                  Para armar la proporcion debemos analizar los datos y determinar

5 hrs                x                                   en 5 hrs recorre x                           si se relacionan en forma directa o inversa.

                                                                                                                     En este caso: Mas hrs de viaje implica mayor recorrido, por lo tanto       3      =     120                                                                                             es una proporcion directa o P.D. 

    5              x                       En un regla de tres simple o directa armamos la proporcion si alterar el orden de los datos

    

Ejercicios: 

 

a) ¿Cuánto valen 850 ladrillos a $ 1.900 el mil?

 

b) Un automóvil recorre 120 km con 32 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para recorrer 213 km?

 

c) ¿Cuánto cuestan 4 camisetas a $ 1.600 la docena?

 

d) ¿Cuánto valen 75 sobres a $ 280 el ciento?

 

e) Si un ciclista recorre 105 km en 3 horas. ¿Cuántos kms recorrerá en 13 min?

 

f) De 200 litros de agua de mar se pueden extraer 8Kgde sal ¿Cuántos litros de agua se deben obtener si se quieren 30Kg de sal?

 

g) Un ganadero tiene forraje para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

 

2) PROPORCION INVERSA

  • 7 obreros hacen un trabajo en 15 días. ¿En qué tiempo lo harían 21 obreros en igualdad de condiciones?

  7 obreros             15 dias                        Para armar la proporsion debemos determinar si es directa o inversa:

21 obreros               x                               Con mas obrebros el trabajo se realizara en menos dias, por lo q es una proporcion inversa o P.I.

                                                                      

         7       =       x                                    Como se trata de una proporsion inversa debemos invertir el antecedente y el consecuente de una                 21                 15                                    razon, puede ser cualquiera, en este caso yo inverti la variable dias.

                                                                 Ya solo nos queda la cuarta proporcion                              

 

Ejercicios:

 

a) 3 llaves llenan un estanque en 7 horas.¿En qué tiempo lo llenarían 5 llaves iguales?

b) 20 hombres concluyen una obra en 6 días. ¿En que tiempo lo terminarían 5 hombres?

c) 6 jóvenes tardan 8 días en hacer un trabajo.¿Cuánto tardaría un joven?

d) Un estanque se llena en 16 horas con un caudal de 15 litros por segundo. ¿Cuántos l/seg habría que echarle para que se llenara en 12 horas?

 

Determina si las siguientes proporcionalidades son directas e inversas y resuelve:

a.- 5 m de elástico valen $ 800. ¿Cuánto valen 8 m del mismo elástico?

b.- 3 litros de aceite valen 3.120. ¿Cuánto valen 4 litros?

c.- Para hacer un trabajo en 4 días se ocupan 9 hombres.¿Cuántos hombres lo harían en un día?

d.- 12 m de género valen $ 18.000.¿Cuántos m podré comprar con $ 45.000?

e.- Los lados de un rectángulo están en la razón 1 / 2. Si el lado menor mide 2,3 cm. calcula la longitud del otro lado y el perímetro.

f.- Con 18 kg de cemento se pueden preparar 100 kg de concreto. ¿Cuántas toneladas podemos preparar con una tonelada de cemento?

g.- Un terreno de 250 m2 vale 3.750.000. ¿Cuánto costará otro terreno similar que mide 28 m de fondo por 10 m de ancho?

h.- Una casa de 9,5 m de alto, proyecta una sombra de 12,4 m. ¿Qué altura tiene otra casa que proyecta una sombra de 39,75 m? 

 

 

Proporcionalidad compuesta
La proporcionalidad compuesta o "Regla de tres Compuesta"permite relacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa.
Para resolver ejercicios de este tipo, primero debemos analizar qué proporcionalidad existe entre cada par de variables. 

Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros pavimentarán 5 km en 10 días?

   2 km        5 dias          20 obreros

   5 km        10 dias          x

   

   2km     20 obreros

   5km       x

   

    5 dias         20 obreros

   10 dias          x

 

 

     2  .  10  =  20 

     5      5       x

 

         20  =  20 

         25       x

      20.x = 20 . 25

           x = 25

Debemos tener mucho cuidado al armar la regla de tres compuesta, los datos deben estar correctamente ordenados y la incognita debe estar en un extremo de la regla para mayor comodidad.

 

Para armar la proporcion debemos relacionar las variables con la incognita por separado:

1) Para construir mas km es necesario mas obreros; P.D.

2) Para construir en mas dias se pueden emplear menos obreros; P.I.

 

Las datos de la P.D. formaran una razon sin alterar el orden de los datos

Los datos de la P.I. formaran una razon invirtiendose el antecedente y el consecuente        

 

Ambas razones se multipliplican y se igualan a la razon formada por las variables de la incognita

 

Ya solo nos falta resolver y despejar la incognita.

 

Nota: Todo problema tiene pregunta, es importante dar respuesta a esa pregunta, interpretar el dato solucion "x=25"

 

Rta: Se necesitan 25 obreros para pavimentar 5km en 10 dias  

 

Ejercicios:

 

1) Alimentar a 12 animales durante 8 días cuesta $ 8.000. ¿Cuánto costará alimentar a 15 animales durante 5 días? 

 

2) Se tienen 2 máquinas iguales para revelar fotos . Funcionando durante 5 horas revelan 1.200 fotos al día. ¿Cuántas fotos podrán revelar 6 máquinas iguales a la anterior, pero funcionando 7 horas?

 

3) 6 cajas de tarros de conservas de 8 tarros c/u valen $ 2.000 ¿Cuánto valen 10 cajas de12 tarros c/u?

 

4) 12 operarias confeccionan 192 abrigos en 20 días de 8 horas de trabajo. ¿Cuántas horas deben trabajar diariamente 18 mujeres para confeccionar 270 abrigos en 25 días?

 

5) Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado para comer 400 pesos. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento?

 

6) Una empresa de flete cobró $480 por transportar 630 kg de maíz unos 500 km de distancia. ¿Cuánto deberá cobrar para transportar ahora 420 kg unos 200 km?

 

7) 5 packs de 7 gaseosas cada uno cuestan $350. Si compro packs de 8 gaseosas, ¿para cuantos packs me alcanzará con $480?

.

Porcentaje
El porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100% por lo tanto podemos resolver cualquier porceentaje haciendo uso de la regla de tres simple.
Por ejemplo: El 12% de 600

                                      100%                   $ 600

                                        12%                   $ x           P.D.

                             

                                          100%         =         600

                                          12 %                      x

Rta: El 12% de $600 es $72

 

Otro ejemplo: 

El precio de un chaleco subio de $13.500 a $15.000. ¿Qué % de aumento tuvo?

Lo que me interesa saber es el porcentaje del aumento (distinto al precio total) por lo tanto primero debemos averiguar cuanto aumento:

                                                       15.000 - 13.500 = 1.500

 

Sabemos que el chaleco aumento su valor $1.500, ahora debemos averiguar cuento es ese importe en porcentaje:

                                                   $13.500                       100%

                                                     $1.500                       x

 

                                                     $ 13.000      =            100%

                                                     $ 1.500                       x

Rta: El chaleco subio un 11,54%

 

 

Ejercicios:

 

1) Calcula el 1%, 2%, 3%, 5%, 12% y 200% de $ 700

 

2) ¿Qué tanto por ciento representa 345 de 1.500?

 

3) Había ahorrado el dinero suficiente para comprarme un abrigo que costaba 90 €. Cuando llegué a la tienda, este tenía una rebaja del 20%. ¿Cuánto tendre que pagar por él?

En la misma tienda me compré una bufanda, que tenía un descuento del 35%, pagando por ella 9,75 €.

¿Cuánto costaba antes de la rebaja?

 

4) Una persona pagaba el año pasado por el alquiler de su vivienda 420 € mensuales. Este año le han subido el precio un 2%. ¿Qué mensualidad tendrá que pagar ahora?

Si su vecino paga este año un alquiler de 459 € al mes, ¿cuánto pagaba el año pasado? La subida fue también del 2% en este caso

5) Tres personas A, B y C compraron un departamento en 40 cuotas. A pagó el 30 % de las cuotas, B pagó el 25% y C el 45% de las cuotas. Cuando decidieron venderlo, obtuvieron $ 80 000. ¿De qué forma deben repartirse el dinero de la venta para que sea proporcional a las cuotas pagadas por cada uno?

 

6) El número de turistas que visitaron cierta ciudad durante el mes de junio fue de 2500. En el mes de julio hubo un 45% más de visitantes, y en agosto, un 20% más que en julio. ¿Cuántos turistas visitaron la ciudad en agosto?

 

7) Un traje marcaba 150 euros antes de las rebajas. En la época de rebajas el mismo traje costaba 120 euros.

a) ¿Qué rebaja nos hicieron (en %)?

b) Si nos rebajasen el 15% ¿cuánto nos costaría?

c) Si los 120 euros son sin IVA y el IVA es del 16% ¿cuánto nos costará el traje?

 

8) Un vendedor de bienes raices recibe un 6% de los beneficios de cada venta que realiza. Al vender un departamento por 80.000 ¿Qué cantidad corresponde al vendedor?

 

9) Un campesino posee 110 hectáreas de monte y decide plantar un 20% con pinos, un 25% de abetos, un 35% de roble y el resto de castaños, teniendo en cuenta que un 5% lo tuvo que dedicar a caminos. ¿Qué superficie plantó de cada tipo de árboles? ¿Qué por centaje plantó de castaños?

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