TRIANGULO
Definición
Un triángulo es un polígono convexo de 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos interiores entre otros elementos.
Clasificación
Los triángulos se clasifican según sus lados y/o sus ángulos interiores:
Según sus lados:
Triangulo equilátero:
Es una figura regular, es decir, posee sus tres lados y tres ángulos interiores congruentes.
Dado que el triangulo equilatero es una figura regular, sus interiores estan determinados por la formula:
β=180° . (n - 2)
n
Por lo tanto: β=180° . (3 - 2)
3
β= 180° = 60°
3
Triangulo isósceles:
Posee solo dos lados y dos ángulos interiores congruentes.
Nota: Los ángulos congruentes son los ángulos opuestos a los lados congruentes.
Triangulo escaleno:
Posee los tres lados y los tres ángulos interiores desiguales.
Según sus ángulos:
Triangulo acutángulo: Posee todos sus ángulos interiores agudos.
Triangulo rectángulo: Posee un ángulo recto.
Triangulo obtusángulo: Posee un ángulo obtuso.
Elementos y sus propiedades
En la sección de polígonos regulares vimos que, la suma de los ángulos interiores de un polígono regular está dada por la formula:
Σβ = 180° . (n - 2)
Esta formula se aplica a todo polígono convexo, por lo tanto: Σβ = 180° . (3 - 2)
Σβ = 180°
Propiedad 1.- La medida de los ángulos interiores de todo triangulo suman 180°
Propiedad 2.- A mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.
Ejemplo:
Propiedad 3.- Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
A < B + C
A > B - C
Ángulos externos
Los ángulos exteriores de un triángulo lo forman un lado y su prolongación.
Son ángulos adyacentes a los ángulos internos.
La suma de las medidas de los ángulos externos de todo polígono convexo suman 360°, por lo tanto:
Propiedad 4.- La suma de las medidas de los ángulos externos de un triangulo suman 360°
Propiedad 5.- El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Ejemplo:
Mediana
Es cada una de las rectas que une el vértice con el punto medio de su lado opuesto.
El punto de intersección de las tres medianas se llama baricentro y se lo denota con la letra G.
Algunas propiedades de las medianas son:
Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales.
Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.
La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.
Mediatriz y circunferencia circunscrita
Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio.
Las tres mediatrices se interceptan en un punto llamado circuncentro equidistante de los tres vértices.
La circunferencia de centro O que pasa por los tres vértices se denomina circunferencia circunscrita al triángulo.
En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.
Bisectrices y circunferencia inscrita
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.
Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Alturas y ortocentro
Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto (o su prolongación) formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas y estas se interceptan en un único punto llamado ortocentro.
-
Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.
-
Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
-
Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.
Perímetro: La suma de las medidas de todos los lados de una figura geométrica.
Per = L1 + L2 + L3
Superficie y Área:
Superficie: Es la porción de plano contenida dentro de una línea cerrada
Área: Es la medida de una superficie.
Área ∆ = base x altura
2
Para calcular la altura de un triangulo equilátero se suele dar una formula que es fácilmente deducible con algunos conocimientos básicos de trigonometría pero se enseña triangulo y sus propiedades antes, por eso se enseña la siguiente formula:
Ejercicios:
1) Clasifica los siguientes triangulos, segun sus lados, y segun sus ángulos.
2) Dibuje:
a) Un triángulo equilátero cuyos lados midan 4cm.
b) Un triángulo isósceles cuyos ángulos iguales miden 30° y cuyo lado desigual mide 6 cm.
c) Un triángulo abc del que se conocen AB = 4 cm, BC = 7 cm y b = 80°. ¿De qué tipo es?
d) Un triángulo de lados 6cm, 7 cm y 11 cm. ¿De qué tipo es?
3) Propiedades:
a) Calcule los ángulos de cada triángulos dibujados previamente y responda: ¿Cuánto suman los 3 ángulos de cada triangulo?
b) Calcula el valor de los ángulos a, b y c
c) Dos de los lados de un triángulo miden 5 cm cada uno, y forman un ángulo de 90°. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos?
d) Intente construir un triángulo con dos ángulos que midan 95° y 88°, respectivamente. ¿Es posible? ¿Por que?
e) Intente construir un triángulo cuyos lados midan 15,3 cm, 8,6 cm y 5,2 cm, respectivamente ¿Es posible? ¿Por que?
4) Construye cuatro triángulos cuyos lados midan: a=6 cm, b=7 cm y c=8 cm.
a) En uno de ellos, traza sus medianas y localiza el baricentro.
b) En otro, traza las alturas y localiza el ortocentro.
c) En el tercero, localiza su circuncentro y traza la circunferencia circunscrita.
d) En el último, localiza su incentro y traza la circunferencia inscrita.
5) Calcula perimetro y área de los siguientes triángulos:
