CUERPOS GEOMETRICOS
Definición
Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones: largo, ancho y alto, ocupa un lugar en el espacio y tiene volumen.
Clasificación
Podemos clasificar los cuerpos geométricos como: Poliedros y Cuerpos Redondos.
Poliedro
Todas sus caras son figuras planas
Cuerpo redondo
Al menos una de sus caras es una figura curva
Poliedros:
La palabra poliedro proviene del griego y significa muchas caras. Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos (figuras geométricas planas). Por lo tanto tienen todas sus caras planas. Los elementos de un poliedro son caras, aristas y vértices.
Caras: Son los polígonos que limitan el poliedro. Diferenciamos las caras laterales y las bases.
Aristas: Son los lados de las caras. Es decir, los segmentos donde se unen dos caras.
Vértices: Son los puntos donde se unen las aristas. En cada vértice concurren tres o más aristas
Podemos clasificar los poliedros en cóncavos y convexos.
Los poliedros cóncavos son aquellos que, al unir dos puntos situados dentro del cuerpo, el segmento correspondiente o parte de él sale de la superficie.
En cambio, en los poliedros convexos, los segmentos que vinculan dos puntos del espacio interior nunca salen del cuerpo geométrico.
Los poliedros convexos los podemos clasificar según la regularidad, en regulares o irregulares:
Regulares: un poliedro regular es aquel que sus caras son poliedros regulares y son todos iguales. Todos los ángulos poliedros también son iguales.
Existen sólo cinco tipos de poliedros regulares:
Tetraedro regular: poliedro regular cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales
Cubo (o hexaedro regular): poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales
Octaedro regular: poliedro regular la superficie del cual está constituida por ocho triángulos equiláteros iguales
Dodecaedro regular: poliedro regular formado por doce pentágonos regulares iguales
Icosaedro regular: poliedro regular las caras del cual son veinte triángulos equiláteros iguales
Superficie:
La superficie total de cualquier cuerpo regular es la suma de las superficies de sus caras.
Volumen:
Todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro. Haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto en tantas pirámides iguales como caras tiene. Para calcular el volumen de un poliedro será suficiente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del poliedro.
El volumen de una pirámide es: V = 1/3.B.ap, siendo B el área de la base y "ap" la distancia del centro del poliedro al centro de la cara, distancia que se llama apotema.
Siendo N el número de caras; el volumen total será: V = N(1/3.B.ap) , pero N.B es el área total del poliedro Sup = N.B. En consecuencia, el volumen de un poliedro regular es la tercera parte del producto de su área por la apotema.
Volumen = 1/3 . Sup . ap
Irregulares:
Poliedro cuyas caras son polígonos no todos iguales.
Dos de las clases fundamentales de los poliedros irregulares son las pirámides y los prismas.
Pirámides: Son los poliedros que están limitados por una base que es un polígono cualquiera, y por caras laterales que son triángulos con un vértice en común llamado "vértice de la pirámide" o "ápice".
Los pirámides se nombran según el polígono de la base:
Elementos:
Superficie: La superficie total de cualquier pirámide es la suma de la superficie de la base mas la suma de las superficies laterales.
Nota: La altura de las caras laterales es la apotema.
Volumen: El volumen del prisma se calcula con la siguiente formula:
Prismas:
Son los poliedros que están limitados por dos bases que son polígonos iguales, y por caras laterales que son paralelogramos.
Los prismas se nombran según el polígono de la base:
Elementos:
Superficie: La superficie total de cualquier prisma es la suma de las superficies de las bases mas la suma de las superficies laterales.
+
Superficie de las bases = 2(superficie de una base)
Superficie lateral = Superficie del rectángulo = b.h
Superficie total
Volumen: El volumen del prisma se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura del cuerpo.
Cuerpos redondos
Los cuerpos redondos tienen alguna cara que es una superficie curva.
Hay tres clases principales de cuerpos redondos: el cilindro, la esfera y el cono.
El Cilindro:
El cilindro es el cuerpo generado por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Elementos:
Las bases: son dos círculos iguales.
El radio del cilindro: es el radio de las bases.
El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el lado alrededor del cual el rectángulo gira para formar el cilindro.
La generatriz: es el lado del rectángulo opuesto al eje de giro.
La altura del cilindro: es la longitud de la generatriz.
La superficie lateral: es la cara curva del cilindro.
Superficie: Al igual que los prismas, la superficie total del cilindro es la suma de las superficies de las bases mas la superficie lateral.
Superficie de las bases = 2(π.r²) (Son 2 bases)
Superficie lateral = b.h (b = 2π.r)
Superficie total
Volumen: El volumen del cilindro se calcula multiplicando la base por la altura del cuerpo. base π.r²
x altura h
Volumen π.r²h (m³)
El Cono:
El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
Elementos:
La base: es el círculo sobre el que se apoya.
El radio del cono: es el radio de la base.
El vértice: es la cúspide o pico del cono.
La generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma el cono al girar o, lo que es lo mismo, cualquier segmento trazado entre el vértice del cono y un punto del contorno o circunferencia de su base.
El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo para formar el cono.
La altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo.
La superficie lateral: es la cara curva del cono
Superficie: La superficie total del cono es la suma de la superficie de la base mas la superficie lateral.
Superficie de la base: π.r²
Superficie lateral : π.r.g
Superficie total
+
Volumen: El volumen del cono es la tercera parte de la base por la altura.
La Esfera:
La esfera se forma por el giro de un semicírculo alrededor de su diámetro. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio.
Elementos:
Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.
Radio: Es la distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera, siendo cualquier segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos de intersección del eje de giro con la superficie esférica.
Superficie: La superficie de la esfera se calcula con la siguiente fórmula:
Superficie = 4π.r²
Volumen: El volumen se calcula con la siguiente fórmula:
Volumen = 4 π.r³
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Ejercicios
