GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
Planos
Para definir una recta necesitábamos un punto P1 y un vector dirección u.
Para definir un plano π necesitamos un punto fijo P1 y dos vectores dirección u y v linealmente independientes.
Si P1 = (x1, y1, z1), u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), las ecuaciones del plano π son:
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Ecuación vectorial: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ(u1, u2, u3) + µ(v1, v2, v3), con λ, µ ∈ R
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Ecuación paramétrica:
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Ecuación general: π) Ax + By + Cz + D = 0
Donde n = (A, B, C) es el vector normal al plano π
-
Ecuación segmentaria:
Donde a, b y c son los valores donde intercepta el plano en los ejes cartesianos
De la forma paramétrica a la general
Como la forma general esta formada por loe coeficientes A, B y C, y éstos determinan el vector normal del plano, debemos hallar éste vector n a partir de la ecuación paramétrica, lo hallaremos haciendo el producto vectorial de los vectores dirección u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3)
Ejemplo:
Por lo tanto la normal al plano es n = (1, -2, 1)
La ecuación general del plano es Ax + By + Cz + D = 0
x - 2y + z + D = 0
Reemplazando los valores de la normal obtenemos
Para hallar D reemplazamos x, y y z por los valores del punto fijo P1 = (1,2,3)
1 - 2.2 + 3 + D = 0
D = 0
x - 2y + z = 0
Quedando la ecuación del plano como:
De la forma general a la paramétrica
Ejemplo:
Sea la ecuación general del plano 2x - y + 3z - 6 = 0
Despejamos cualquiera de las 3 variables
y = -2x - 3z + 6
Reemplazamos las otras variables por las variables paramétricas s y t
x = s
z = t
Y asi ya podemos armar nuestro sistema de 3 ecuaciones:
De la forma general a la segmentaria
Si tenemos la ecuación de un plano en su forma general Ax + By + Cz + D = 0, podemos dividir los términos por el termino independiente D para llegar a su forma segmentaria.
Ejemplo:
Sea la ecuación general del plano 2x - y + 3z - 6 = 0
2x - y + 3z = 6
6 6 6 6
x - y + z = 1
3 6 2
Podemos afirmar que el plano intercepta a x en 3, y en -6 y a z en 2
Condiciones necesarias
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Un punto y un vector normal: La ecuación es A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Ejemplo:
Determinar el plano que contenga al punto P = (2, -1, 4) y tenga como vector normal a n = (3, 2, -5)
Partimos de la ecuación general del plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Y reemplazamos:
3.(x - 2) + 2.(y +1) -5.(z - 4) = 0
3x - 6 + 2y + 2 - 5z + 20 = 0
3x + 2y - 5z + 16 = 0
Para graficar podemos hallar los puntos de intersección con los ejes:
Eje x) y = 0 y z = 0
Reemplazamos: 3x + 2y - 5z + 16 = 0
3x = -16
x = -16/3
Eje y) x = 0 y z = 0
Reemplazamos: 3x + 2y - 5z + 16 = 0
2y = -16
y = - 8
Eje z) x = 0 y y = 0
Reemplazamos: 3x + 2y - 5z + 16 = 0
-5z = -16
z = 16/5
Nota: Un plano, al igual que una recta son infinitos, pero lo delimitamos para entender la grafica
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Un punto P1 y dos vectores directores no paralelos: Dados P1 y los vectores directores u y v para escribir la ecuación paramétrica.
Ejemplo:
Determinar el plano que contenga al punto P = (2, -1, 4) y tenga los vectores dirección u = (2, -3, 0) y v = (0, 5, 2)
Escribimos la ecuación en la forma paramétrica:
Para graficar el plano:
1) Primero ubicamos el punto P y los vectores dirección u y v en el sistema de ejes
2) Luego trasladamos los vectores al punto P.
Analíticamente sumamos P + u = (2,-1, 4) + (2,-3, 0) = (4,-4, 4)
y P + v = (2,-1, 4) + (0, 5, 2) = (2, 4, 6)
Nota: La grafica corresponde al mismo plano del ejemplo anterior limitado en diferentes puntos
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Tres puntos no alineados: Permiten obtener dos vectores directores u y v y la ecuación paramétrica.
Ejemplo:
Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos a = (2, 4, 6) , b = (4,-4,4) y c = (2,-1, 4)
1) Tomamos como punto fijo cualquier punto dado, por ejemplo a = (2, 4, 6)
2) Hallamos los vectores dirección ab y ac
ab = b - a = (4,-4, 4) - (2, 4, 6) = (2, -8, -2)
ac = c - a = (2, -1, 4) - (2, 4, 6) = (0, -5, -2)
3) Teniendo el punto y los dos vectores dirección podemos escribir la ecuación paramétrica:
Nota: La grafica corresponde nuevamente al mismo plano aunque su ecuación paramétrica sea diferente porque en un plano existen infinitos puntos e infinitos pares de vectores dirección paralelos al plano, por lo tanto, existen infinitas ecuaciones paramétricas de un mismo plano
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Dos rectas paralelas o secantes:
Ejemplo 1.-
Extraemos de las ecuaciones el punto fijo P1 = (2,-1, 4) y los vectores dirección: de r1, u = (2,-3, 0) y de r2, v = (0, 5, 2)
Ejemplo 2.-
Extraemos de las ecuaciones el punto P1 = (2,-1, 4) y el vector dirección u = (2,-3, 0) y de r2 tenemos el punto P2 = (0,-8, 0) y el vector v = (2,-3, 0).
Nota que al ser r1 // r2, u = v
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Una recta y un punto exterior:
Ejemplo:
Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r1 y al punto a = (0, -8, 0)
1) Extraemos el punto fijo P1 = (2,-1, 4) y el vector dirección u = (2,-3, 0)
2) Sumamos P1 + u para encontrar un segundo punto: (2,-1, 4) + (2,-3, 0) = (4,-4, 4)
3) Con los 3 puntos (2,-1, 4), (4,-4, 4) y (0, -8, 0) ya podemos graficar.
Angulo entre dos planos
Dados α y π dos planos en el espacio, podemos determinar el ángulo que forman entre ellos calculando el ángulo que forman sus normales haciendo uso de la fórmula de producto escalar.
Ejemplo:
α) x - 2y + z = 0
π) 2x + 3y - 2z = 0
La normal de α es n1 = (1,-2, 1) y la normal de π es n2 = (2, 3,-2)
Ya podemos aplicar la formula del producto escalar:
1) Calculamos n1.n2 = (1,-2, 1).(2, 3,-2)
= 2 - 6 - 2
= -6
2) Calculamos el modulo de n1 y n2
3) Y finalmente calculamos el ángulo usando la fórmula
Recta entre dos planos
Dados α y π dos planos en el espacio, la intersección entre ellos (siempre que no sean paralelos) es una recta que podemos hallar haciendo el producto vectorial de las normales de cada plano. Siguiendo el ejemplo anterior:
n1 = (1,-2, 1) y n2 = (2, 3,-2)
Por lo tanto α ∩ π = r) i + 4j + 7k
Ejercicios:
1) Dados el punto a = (1, 1, 1) y los vectores directores a u = (1, -1, 1) y v = (2, 3, -1):
a) Hallar las ecuaciones paramétricas e general del plano.
b) Graficar
2) Dados los puntos a = (-1, 2, 3) y b = (3, 1, 4) y el vector u = (0, 0, 1):
a) Hallar las ecuaciones paramétricas e general del plano.
b) Graficar
3) Dados los puntos a = (-1, 1, -1), b = (0, 1, 1) y c = (4, -3, 2):
a) Hallar las ecuaciones paramétricas e general del plano.
b) Graficar
4) Comprobar si los puntos a = (2, 1, 9/2) y b = (0, 9, -1) pertenecen al plano π)
π)
5) Hallar la ecuación y graficar el plano que pasa por el punto (2, 0, 1) y contiene a la recta de ecuación
6) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos a = (1,-2, 4) y b = (0, 3, 2) y es paralelo a la recta de ecuación
