POLINOMIO
Clasificación
Las polinomio se clasifican de acuerdo al numero de terminos:
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Monomio: Se llama así al polinomio de un solo termino.
Ejemplos:
Monomios semejantes: Son aquellos monomios que tienen las mismas variables con igual potencia.
Ejemplo:
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Binomio: Polinomio de dos términos.
Ejemplos:
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Trinomio: Polinomio de tres término.
Ejemplos:
Grado de un monomio: Es la suma de todos los exponentes de las variables. Ejemplo: Dado el monomio A(a,b) = a⁴b⁵, el grado del polinomio A es gr(A)=9
Grado de un polinomio: El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado.
Ejemplo:
Polinomios de una variable
Un polinomio, de grado n en la variable x se escribe de la forma
donde ai son los coeficientes de cada monomio:
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a0 = coeficiente independiente o termino independiente.
Un término independiente lo podemos considerar como si estuviera acompañado por la variable con exponente cero. Recuerda que un número o letra si elevamos a cero su resultado vale 1.
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a1 = coeficiente lineal (coeficiente del monomio con la variable de potencia 1)
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a2 = coeficiente cuadrático (coeficiente del monomio con la variable de potencia 2)
.
.
.
-
an = coeficiente principal (coeficiente del monomio de mayor grado)
Orden de un polinomio
Consiste en ordenar los términos de un polinomio usando como referencia la potencia de la variable de forma ascendente (de menor a mayor) o descendente (mayor a menor).
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Orden ascendente: 5x⁵ + 2x⁴ - 54x – 135
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Orden descendente: – 135 - 54x + 2x⁴ + 5x⁵
Polinomio completo: Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
Ejemplo: P(m) = m⁵ + 2m⁴ - 10m³ - 3m² - m + 16
Para completar un polinomio solo debemos agregar los términos faltantes con coeficiente ai=0
Ejemplo: Q(m) = 10m³ - m = 10m³ + 0m² - m + 0
Operaciones con polinomios
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Suma y resta de monomios: Para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. La suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes.
Ejemplos:
Nota que en el ejemplo de la izquierda los monomios son semejantes y la suma es la suma de sus coeficientes, pero en el ejemplo de la derecha, a pesar de que los monomios tienen iguales variables, estas no poseen igual potencia, por lo tanto no podemos sumar o restar sus coeficientes, simplemente se expresa el resultado como la unión de los monomios en un binomio.
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Suma de polinomios:
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Hay dos formas distintas de resolver una suma de polinomios. 1) La primera es haciéndolo de forma lineal, ejemplo:
Dados los polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3 y Q(x) = 4x − 3x² + 2x³ calcularemos la suma P(x) + Q(x)
1°) Ordenamos los polinomios, si no lo están. En nuestro ejemplo P(x) ya está ordenado por lo tanto solo ordenamos Q(x) de manera descendente
Q(x) = 2x³− 3x² + 4x
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³− 3x² + 4x)
2°) Agrupamos los monomios del mismo grado.
3°) Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3x² + 5x + 4x − 3
P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3
Esta opción es muy rápida de resolver, pero si los polinomios son de mas de tres términos, es muy común cometer errores, por esta razón, recomiendo la segunda forma:
2) Se trata de escribir un polinomio debajo del otro, (completos y ordenados) de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar de manera análoga a la suma de números, donde se alinean las unidades, decenas y centenas.Como ejemplo sumaremos los mismos polinomios P(x) y Q(x)
2x³ + 0x² + 5x − 3
+
2x³ − 3x² + 4x + 0
4x³ - 3x² + 9x − 3
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Resta de polinomios:
Para restar dos polinomios se restan los coeficientes de los términos del mismo grado.
1) Restando en forma lineal:
Dados los mismos polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3 y Q(x) = 4x − 3x² + 2x³ calculamos P(x) - Q(x)
1°) Ordenamos los polinomios de ser necesario.
Q(x) = 2x³− 3x² + 4
P(x) - Q(x) = (2x³ + 5x − 3) - (2x³− 3x² + 4x
2°) Aplicamos propiedad distributiva del signo menos con el segundo polinomio:
3°) Agrupamos los monomios del mismo grado.
4°) Resolvemos los monomios semejantes.
P(x) - Q(x) = 2x³ + 5x − 3 - 2x³+ 3x² - 4x
P(x) - Q(x) = 2x³ - 2x³ + 3x² + 5x - 4x − 3
P(x) + Q(x) = 3x² + x − 3
2) Para resolver la resta de polinomios de la segunda forma, haremos la suma con el opuesto del segundo polinomio.
Q(x) = 2x³− 3x² + 4x, entonces su opuesto es -Q(x) = -2x³+ 3x² - 4x
Nuevamente ponemos un polinomio debajo del otro, (completos y ordenados) de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
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Producto de Polinomios:
Producto de monomios:
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene sumando los exponentes.
Ejemplo:
Producto de polinomios:
En una multiplicación se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio. Al igual que en la suma y resta tenemos dos formas de hacer esto:
1) En forma lineal, aplicando propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y resta:
Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x² − 3 y Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
2) La segunda forma es escribiendo un polinomio debajo del otro, (completos y ordenados) de forma que los monomios semejantes queden en columnas iguales, se multiplica cada monomio del polinomio inferior por todos los monomios del superior. El producto de polinomios es analogo al producto de números.
Como ejemplo multiplicaremos los mismos polinomios P(x) y Q(x)
Cuadrado de un binomio:
El cuadrado de un binomio es un producto de un binomio por si mismo, es decir: (a + b)² = (a + b).(a + b)
Ejemplo:
Sea P(x) = 2x − 3 entonces:
(2x − 3)² = (2x − 3).(2x − 3)
= 4x² − 6x - 6x + 9
= 4x² − 12x + 9
De ese ejemplo podemos deducir 3 observaciones:
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El primer término del resultado siempre es resultado de multiplicar el 1er término del binomio por si mismo, generalizando: a . a = a²
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-6x es resultado de multiplicar 2x. (-3) y el siguiente -6x es resultado de multiplicar -3 . 2x Siempre vamos a multiplicar a.b y b.a que es lo mismo que decir que multiplicamos 2 veces a.b o 2.a.b
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El último término es resultado de multiplicar (-3).(-3) Siempre será el producto de b . b = b²
Por lo tanto, sin aplicar la propiedad distributiva, podemos desarrollar el cuadrado de un binomio como (a + b)²= a²+ 2.a.b + b²
Ejemplo: (5x + 4)²= (5x)² + 2.5x.4 + 4²
= 25x² + 40x + 16
Nota: Si el binomio es una suma: (a + b)²= a²+ 2.a.b + b² El segundo término del trinomio 2ab es positivo
Si el binomio es una resta: (a - b)²= a²- 2.a.b + b² El segundo término del trinomio 2ab es negativo
En los casos de FACTORIZACION desarrollamos como se hace el paso inverso, es decir llevar el trinomio a²+ 2.a.b + b² al cuadrado de un binomio (a + b)²
Completar el cuadrado de un binomio
Es muy habitual que tengamos una expresión del tipo a²+ 2.a.b y tengamos que "completar" dicha expresión para poder llevarla al cuadrado de un binomio.
Partiendo que sólo tenemos a²+ 2.a.b
Dividimos 2ab así hallamos b
2a
Ya teniendo b, completamos la expresion sumandole b²
Pero si agregamos sólo b² debemos agregar también -b² para no alterar la expresión original
Y así ya tenemos los 3 términos necesarios para armar el cuadrado de un binomio mas un término negativo sobrante
Ejemplo: Vamos a completar 4x² - 12x
4x² - 12x = (2x)²- 12x
12x = 3
2.2x
= (2x)²- 12x + 3² - 3²
= 4x²- 12x + 9 - 9
= (2x - 3)² - 9
Primeramente transformamos el 1er término a la forma (ax)²
Dividimos el segundo término por 2ax
Completamos el trinomio con el cuadrado de 3 (Sumando y restando para no alterar la expresión)
Ya con el trinomio completo convertimos los tres primeros términos en el cuadrado de un binomio.
Ejercicios
Completa el cuadrado de un binomio de las siguientes expresiones:
1) x² + 14x
2) y² + 12y
3) z² + 8z
4) m² - 26m
5) a² - 20a
6) u² - 5u
7) n² + 13n
8) p² + 1/4p
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División de Polinomios:
Dados los polinomios P(x) y Q(x) llamamos división a la operación P(x):Q(x) = C(x), donde P(x) es el dividendo, Q(x) es el divisor, C(x) es el cociente o resultado y R(x) es el resto.
Condición necesaria: Para que la división de P(x) en Q(x) sea posible, el grado de P(x) debe ser mayor o igual que el de Q(x).
Ejemplo: Dados P(x) = -2x³+ 4x² + 2x - 3 y Q(x) = x² - 1 calcularemos P(x):Q(x)
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Ordenamos y completamos los polinomios: P(x) está completo y ordenado, y Q(x) = x² + 0x - 1
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Como el divisor es un trinomio, trabajaremos primero con los 3 primeros términos del dividendo, por ello la comilla que se encuentra en el termino lineal.
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Dividimos el primer termino del dividendo con el primer termino del divisor (se dividen los coeficientes y se restan las potencias de las variables)
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Ya teniendo el resultado de la división, multiplicamos este por los términos del divisor, empezando por el de la derecha. -2x.(-1) = 2x
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El resultado del producto (2x) va debajo del termino lineal del dividendo
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Luego: -2x . 0x = -0x² va debajo de 4x²
-2x . x² = -2x³ va debajo de -2x³
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Restamos y bajamos el termino independiente -3
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Verificamos que el nuevo dividendo sea de grado mayor o igual al divisor
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Repetimos el proceso
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-x+1 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
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Método de Ruffini
Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma (x — a).
Para explicar los pasos a aplicar vamos a tomar de ejemplo la división (x⁴ − 3x² + 2 ) : (x − 3)
1) Completamos y ordenamos el dividendo si es necesario: x⁴ + 0x³− 3x² +0x + 2
2) Ubicamos los coeficientes del dividendo a la derecha y a=3 en la izquierda como se muestra en el dibujo.
3) Bajamos el coeficiente principal y lo multiplicamos por a.
4) El resultado del producto va debajo del siguiente coeficiente y sumamos ambos números.
5) Repetimos el proceso hasta quedarnos con una ultima suma cuyo resultado es el resto.
6) El polinomio cociente siempre tendrá un grado menos que el dividendo.
Nota: El valor de "a" siempre es el opuesto del termino independiente del divisor.
C (x) = x³ + 3x² + 6x + 18
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Teorema del Resto:
Se llama división exacta a una división donde el resto es nulo, es decir, R(x) = 0, para determinar esto, resulta poco practico realizar la division si solo nos interesa calcular el resto, por ello resulta muy útil usar el teorema del resto.
Antes de exponer dicho teorema, es necesario definir valor numérico.
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Valor numérico: El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al asignarle un valor determinado a la variable y realizar los cálculos correspondiente.
Ejemplo: Hallar el valor numérico de P(x) = 2x³+ 5x -4, para x =2.
El teorema del Resto expresa que:
El resto de la división de un polinomio P(x), por un divisor, siendo este de la forma (x − a), es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
Como ejemplo calcularemos, por el teorema del resto, el resto de la división antes resuelta con el método de Ruffini:
P(x) = x⁴ − 3x² + 2
P(3) = (3)⁴ − 3.(3)² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
Nota: Al igual que con el método de Ruffini, el valor de "a" siempre es el opuesto del termino independiente del divisor.
Ejercicios:
P(2) = 2.(2)³+ 5.(2) -4 P(2) = 22
