RADICALES
Radicales:
Un radical es una expresión en la forma
donde n se denomina índice,
a se denomina radicando,
b se denomina raíz o solución
La expresión se lee: La raíz enésima de a será b si y solo si b a la n nos da a, veámoslo con unos ejemplos:
Nota: En toda raiz con indice par solo se considera solucion a las raices b no negativas
Operando con Irracionales:
Antes de empezar a sumar, restar o realizar cualquier tipo de operación con números irracionales, debemos comprender como extraer, e introducir factores dentro de los radicales que serán nuestro principal elemento dentro de estas operaciones.
Extracción de factores:
La reducción o extracción de factores dentro de un radical solo es posible cuando el exponente de la potencia sea igual o mayor que la raíz, por ejemplo:
Como se observa la potencia es mayor que la raiz (7 > 3)
El 1er paso será buscar una potencia que sea múltiplo a la raíz y descomponer (recuerda q en un producto de igual base las potencias se suman, 6+1=7)
Como el radicando es un producto podemos distribuir la raiz en ambos factores y simplificar el indice 3 con la potencia 6 del primer radical
Si el radicando es un numero debemos factorearlo, es decir, descomponer dicho numero es factores primos, por ejemplo:
Introducción de factores en números irracionales
Existen dos formas de incluir un factor que está fuera de un radical:
-
El primero se logra aplicando potencia y raiz al factor que se quiere introducir al radical de igual indice que el radical, logrando así que el número no se altere (propiedad uniforme), aquí ofrecemos un ejemplo:
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Propiedad Uniforme
Resolvemos la potencia de potencia
Propiedad asociativa de la raiz con respecto al producto
Producto de igual base (se suman las potencias)
-
Otra forma de introducir el factor al radical es multiplicando el indice de la raiz por el exponente de la potencia del factor, el resultado de ese producto sera la potencia que tendra nuestro factor dentro del radical
Nota: Si la raiz no tiene indice estamos en presencia de una raiz cuadrada y su indice es 2.
Ejercicios:
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Suma y Resta:
Solo se pueden sumar o restar términos semejantes, es decir, términos con raíces de igual índice y radicando. Para ello es conveniente factorear y simplificar cuando sea posible (o conveniente). Ejemplo:
Factoreamos los radicandos
Propiedad Distributiva de la Raíz con respecto al producto (o división)
Simplificamos Potencia con Raíz en cada termino
Multiplicamos los factores que quedaron fuera de la raíz y sumamos
Resuelve las siguientes sumas y restas:
-
Producto:
Cuando las raíces poseen igual índice podemos simplemente asociarlas.
Propiedad Asociativa de la raíz con respecto al producto y la división:
Ejemplo:
Si los indices son de diferente valor debemos calcular el m.c.m. entre ellos. Ejemplo:
El m.c.m.(3,4)=12 Luego divido el m.c.m. con cada índice, este resultado será la potencia que deberemos aplicar a cada radicando.
Aplicamos propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto y potencia de potencia para deshacernos de los paréntesis, de esta forma podemos agrupar los factores de igual base bajo un mismo índice.
Por ultimo factoreamos y simplificamos para que las potencias que se encuentren en el radicando sean menores al índice. Si desean pueden distribuir la raíz para simplificar el índice con la potencia de a y observaran el mismo resultado del mismo ejercicio que resolveremos de otra manera.
Cuando los radicales son de igual base resulta mas sencillo transformar las raíces en potencias (ver potencia en la sección de racionales)
Veremos como ejemplo el mismo ejercicio y aplicaremos potencia de igual base, es decir, sumar las potencias.
Transformamos las raíces en potencias racionales como se mostro anteriormente.
Sumamos las potencias de igual base.
Expresamos las nuevas potencias como raíces.
Por ultimo nos queda factorizar y simplificar.
Ejercicios:
Resuelve los siguientes productos.
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División:
En una division de radicales debemos proceder de igual manera que en el producto:
El m.c.m.(2,3)=6 Luego divido el m.c.m. con cada índice, este resultado será la potencia que deberemos aplicar a cada radicando.
Ya podemos resolver la división que tenemos dentro de la raíz, en este caso como podemos trabajar con división de igual base conviene factorear el numerador.
Aplicamos la propiedad: potencia de potencia
Como se trata de una división restamos la potencia y damos por concluido el ejercicio.
Resuelve las siguientes divisiones:
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Racionalización de Radicales:
Cuando tenemos una expresión con raíces en el denominador resulta conveniente encontrar una expresión equivalente que no tenga raices en dicho denominador, a este procedimiento lo denominamos racionalización. Podemos encontrarnos con dos casos:1) Cuando en el denominador se encuentra un solo termino con raíz
Ejemplo:
Para eliminar la raíz (cubica en este caso) debemos obtener en la potencia del radicando el mismo valor que el del índice, como en este caso el índice es 3, nuestro radicando debe tener igual potencia, para ello aplicaremos la propiedad uniforme, esto es:
Multiplicaremos nuestra expresión original por una fracción tal que; el numerador sea igual al denominador, al ser estos de igual valor en definitiva simplemente estamos multiplicando la expresión original por 1.
Esta nueva fracción de igual numerador y denominador será una raíz cubica, de esta forma podremos unir ambas raíces de los denominadores sin problema alguno.
Como nuestro radicando tiene una potencia de 2, el radicando que nosotros agregaremos en la propiedad uniforme será de igual base (5) pero con potencia igual a 1 para que, al multiplicar ambos denominadores obtendremos un radicando con potencia igual al índice
Al lograr igual potencia e índice podemos simplificarlos eliminando así la raíz del denominador.
2) Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada
Como en el primer caso, aquí también deberemos aplicar la propiedad uniforme, es decir, la fracción que agregaremos multiplicando a la expresión original tendrá igual numerador y denominador:
Dicha fracción estará formada por el conjugado del denominador de nuestra expresión, esto es, el mismo denominador solo que restando en vez de estar sumando como en la original. (Si la expresión hubiera sido una resta, el conjugado será una suma)
Al hacer el producto y aplicar la propiedad distributiva (si lo hicimos bien) obtendremos cuatro términos de los cuales siempre deberán cancelarse los dos centrales y, el o los términos que sean raíces tendrán una potencia por ende, podremos simplificarlas quedando así la expresión racionalizada.
Ejercicios:
