INTEGRAL DEFINIDA
Área bajo una curva
Dada una función f(x) continua en un intervalo [a,b], su gráfica determina una región del plano que vendrá limitada por la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. Veamos cómo podemos calcular de forma aproximada el área de dicha región: Tomamos una partición del intervalo [a,b]. Consiste en dividir el intervalo en n partes, tomando para ello los puntos x0, x1, x2, ..., xn verificando que a = x0 < x1 < x2 < xn = b. Así, tenemos los intervalos [a , x1], [x1 , x2], [x2 , x3], ..., [xn-1 , b].
A continuación, denotamos por f(xi) al valor que toma la función en el intervalo [xi , xi+1]. Así, en cada intervalo consideraremos figuras rectangulares creadas a partir de las bases [xi , xi+1] y altura f(xi). Sumando las áreas de los n rectángulos, obtenemos:
Con A < S
Cuando n → ∞, la longitud de los intervalos se hace cada vez más pequeña, luego xi - xi-1 → 0. Así, cuando la función sea integrable,
A
S
Integral definida: Definición
Sea una función f(x) continua en un intervalo [a,b]. Definimos la integral definida entre a y b de f(x) como la expresión
Su valor es el área comprendida entre la gráfica de f(x) , el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. Es decir:
Nota: Los valores a y b se llaman límites de integración.
Es decir, que la integral se puede interpretar como: “la suma del área de todos los rectángulos de altura f(x) y base infinitesimal (dx) comprendidos entre a y b”
Propiedades
Función integral o función área
Dada una función f continua en el intervalo [a,b] , para cualquier punto x ∈ [a,b] se define la función integral o función área como F(x) donde:
Regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b] y F(x) es una primitiva de f(x) , entonces:
y suele representarse como:
Ejemplo
Ejercicios
Resuelve las siguientes integrales definidas:
Si analizamos las funciones en los ejercicios, notaremos que todas son positivas en sus intervalos, es decir, que están por encima del eje x, pero que sucede si una función tiene intervalos positivos e intervalos negativos?
Aplicaciones de la integral definida
Área encerrada bajo una curva
Para calcular el área comprendida entra la gráfica de una función f(x) y el eje de abscisas en un intervalo en el que la gráfica aparece por encima y por debajo del eje X, es necesario hallar cada una de las áreas por separado. Por propiedad, en los subintervalos en los que la gráfica está por debajo del eje x, la integral será negativa, y tomaremos el valor absoluto en toda la integral.
Desde el punto de vista práctico, si tenemos la representación gráfica de la función se puede plantear el área como suma o resta de las regiones donde la función es positiva o negativa, respectivamente.
Ejemplo
Halla el área encerrada entre la gráfica de la función f(x) = x²- 2x - 3, el eje x y las rectas x = 3 y x = 4.
1) Analizamos la función y graficamos aunque no es necesaria realmente la grafica
Por tratarse de una función polinómica: Dom f = |R
Buscamos los ceros de la función (y = 0):
Teniendo los ceros de la función analizaremos su positividad:
La función es positiva a la izquierda de x = -1
La función es negativa a la derecha de x = -1
La función es negativa a la izquierda de x = 3
La función es positiva a la derecha de x = 3
Ya teniendo hecho el análisis con sus ceros y positividad, procedemos a calcular el área total
Nota: u² se refiere a la unidad de medida con la que se esté trabajando, por ejemplo cm², m²
Área comprendida entre dos curvas
El área comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) y g(x) en el intervalo [a, b] es igual que al área que se encierra entre la función diferencia (f o g)(x) y el eje x en ese intervalo.
Siendo f(x) > g(x). Si no se determina qué función está por encima de la otra, podemos escribir la expresión general:
Ejemplo
Halla el área comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) = -x²+ 4x y g(x) = x entre las rectas x = -1 y x = 3
Ejercicios
1.- Calcular el área limitada por la parábolas y = x² y la recta y = 4
2.- Calcular el área limitada por la parábolas y = x² y la recta y = x
3.- Calcular el área limitada por la parábolas y = x² y la recta y = x+2
4.- Calcular el área limitada por las parábolas y = x² e y = -x²
5.- Hallar el área de la región limitada por las funciones y = sen(x) e y = cos(x)
