TRIGONOMETRÍA
Círculo trigonométrico:
El círculo trigonométrico es un círculo de radio 1 situado en el centro de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas y sirve para representar funciones trigonométricas.
Si tomamos una semirrecta desde el origen, esta forma un ángulo α con el eje horizontal.
La intersección semirecta se cruza con el círculo en el punto C (segmento AC).
Desde el punto C trazamos un segmento perpendicular a la horizontal (segmento BC ) formando así un triángulo rectángulo con un ángulo recto en el punto B.
El radio de un círculo es el segmento completo desde el centro del círculo hasta cualquier punto del mismo; por lo tanto, la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual al radio = 1.
sen α = Cateto opuesto = BC = BC
Hipotenusa 1
cos α = Cateto adyacente = AB = AB
Hipotenusa 1
tg α = Cateto opuesto = BC = DE
Adyacent cateto AB
Asignando diferentes valores al ángulo α podemos observar los triángulos rectangulares en sus diferentes cuadrantes y el signo que tiende a resultar en diferentes razones trigonométricas fundamentales:
α = 0°
sen 0° = 0
cos 0° = 1
tg 0° = 0
0° < α < 90°
sen α = BC , con BC > 0 (Positivo)
cos α = AB , con AB > 0 (Positivo)
tg α = DE , con DE > 0 (Positivo)
α = 90°
sen 90° = 1
cos 90° = 0
tan 90° = No hay
90° < α < 180°
sen α = BC , con BC > 0 (Positivo)
cos α = AB , con AB < 0 (Negativo)
tg α = + / - = DE , con DE < 0 (Negativo)
Nota: La tangente debe trasladarse al primer o cuarto cuadrante, según el caso.
α = 180°
sen 180° = 0
cos 180° = -1
tg 180° = 0
180° < α < 270°
sen α = BC , con BC < 0 (Negativo)
cos α = AB , con AB < 0 (Negativo)
tg α = - / - = DE , con DE > 0 (Positivo)
α = 270°
sen 90° = -1
cos 90° = 0
tg 90° = No existe
270° < α < 360°
sen α = BC , con BC < 0 (Negativo)
cos α = AB , con AB > 0 (Positivo)
tg α = DE , con DE < 0 (Negativo)
En la sección anterior, aprendimos a calcular razones trigonométricas e inversas usando una calculadora científica; pero estos cálculos son aproximaciones a razones reales, así que ahora veremos los valores de razones trigonométricas fundamentales exactas para algunos ángulos notables:
Nota: En la siguiente sección veremos cómo calcular una razón trigonométrica con exactitud para ángulos no notables.
Funciones trigonométricas recíprocas
Llamamos al inverso multiplicativo recíproco. Así que puedes:
La función coseno es la recíproca de la función seno.
La función secante es la recíproca de la función coseno.
La función cotangente es la recíproca de la función tangente.
identidad trigonométrica
Se conoce como identidad trigonométrica a la igualdad que involucra funciones trigonométricas y que resulta en valores verificables para cualquier valor de variable (los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Ejemplo:
Demostrar una identidad trigonométrica consiste en tomar un miembro de la misma expresión que el otro, por lo que debemos conocer las relaciones básicas, además de las funciones recíprocas que vimos anteriormente:
Identidad de la razón:
Relación pitagórica:
Ejemplo:
cotag α = 1
tg α
sec α = 1
cos α
cosec α = 1
seno α
Es más fácil trabajar con el primer miembro, pero más complejo, por lo tanto, trabajaremos con el primer miembro.
El primer paso siempre será expresar cada operación como una función seno y coseno. Para ello utilizamos la "Identidad de la razón".
Resolvemos la suma de fracciones
Dado que el numerador es la relación pitagórica, lo reemplazamos con 1.
El resultado es la función recíproca del coseno.
Ceremonias
Comprueba las siguientes identidades trigonométricas:
