CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES
Definição:
Chama-se número racional todo número que pode ser representado como o quociente de dois números inteiros coprimos (mais precisamente, um inteiro e um natural positivo), ou seja, uma fração comum a/b com numerador a e denominador b diferente de zero.
O conjunto dos números racionais é denotado pela letra Q e inclui os números inteiros.
Frações:
As frações são classificadas em três tipos:
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Fração própria: O numerador é menor que o denominador. Isso significa que a fração é menor que um inteiro.
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Fração imprópria: O numerador é maior que o denominador. Isso significa que a fração é maior que um inteiro. Também pode ser escrita como fração mista, com parte inteira e parte fracionária.
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Fração aparente: O numerador é múltiplo do denominador.
Representam números inteiros.
As frações equivalentes são aquelas que representam a mesma parte de um inteiro. Isso é feito amplificando ou simplificando uma fração:
Para amplificar uma fração, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número.
Para simplificar uma fração, dividimos tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número.
Simplificação
Amplificação
A escrita decimal de um número racional é, ou um número decimal finito, ou periódico. Ao operar com estes, muitas vezes é necessário transformá-los em frações:
1- Se tratamos com um decimal finito, devemos escrever o decimal sem a vírgula no numerador e, no denominador, potências de 10 (10, 100, 1000 etc.).
Exemplo: 2,5 = 25/10 = 5/2
2,023 = 2023/1000
2- Para explicar como transformar um decimal periódico, é mais prático fazê-lo a partir de um exemplo:
Isto é: No numerador, faremos uma subtração de todo o número menos a parte não periódica e o denominador levará tantos 9 quantos números periódicos houver e tantos zeros quantos números decimais não periódicos tiver.
Propriedades:
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Diferente dos inteiros, entre dois números racionais existem infinitos números racionais.
Exemplo: Para encontrar um número racional entre 1/3 e 2/3, basta amplificar as frações:
Como se observa, ao amplificar as frações, podemos encontrar uma fração entre estas duas, "3/6", que equivale a "1/2".
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Nos inteiros, observamos que todo número inteiro tem um inverso aditivo ou "oposto". Os racionais, além de terem oposto, também têm inverso multiplicativo ou "recíproco", isto é:
∀ x ∈ Q, x ≠ 0 ∃! y / x . y = 1
Para todo número pertencente ao conjunto dos racionais diferente de zero, existe um único número racional tal que seu produto dê um (elemento neutro da multiplicação).
Exemplo: O recíproco de 2/3 é 3/2 porque 2/3 . 3/2 = 6/6 = 1.
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Potências de expoentes negativos:
Exemplo:
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Potências com expoente racional:
Na seção das propriedades dos números naturais, dissemos que as propriedades das potências valem também para as raízes. Isto é porque uma raiz pode ser expressa como potência racional.
Para transformar uma raiz em potência, devemos escrever o radicando (a) como base; a potência do radicando (m) será o numerador da potência racional e o índice (n) será o denominador.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Portanto, uma operação com raízes como o seguinte exemplo, podemos trabalhá-la da seguinte forma:
Exercícios:
1. Escrever três frações equivalentes às dadas:
a) -2/3 b) 4/7 c) -3/1
d) 7/-3 e) -8/-7 f) 5/4
2. Escrever cada um dos seguintes números racionais em sua forma reduzida:
a) -4/6 b) 125/20 c) -7/-5
d) 15/-3 e) 1/-4 f) -36/-27
3. Indicar as seguintes frações com <, > ou =
a) 13/42 1/3
c) -7/8 -15/17
b) 2/7 13/43
d) -2/3 -41/61
e) -2/3 4/5
f) 4/13 -1/2
4. Determinar y ubica en la recta numérica tres números racionales entre:
a) 1/38 y 1/37 b) -4/5 y 2/7
c) -7/12 y -1/4 d) -1 y 1/2
5. Ligue com setas os números racionais opostos entre si:
-9/2 -7
-3/4 5/-25
11/22 9/2
7 6/8
1/5 -1/2
6. Dê o recíproco (se existir) de cada um dos seguintes números:
a) -3/4 b) 2/3 c) 5/2 d) -4
e) 1 f) 0 g) 7/2 h) 1/5
7. Efetue as operações indicadas:
9. Resolva os seguintes exercícios combinados trabalhando apenas com números decimais.
10. Represente os seguintes números decimais em sua forma fracionária.
a) 3,248 b) 0,15 c) 0,25
d) 0,75 e) 2,2343434.. f) 0,2222..
g) 0,123123.. h) 6,01434343.. i) 0,4954954..
11. Represente as seguintes frações como número decimal.
a) 5/3 b) 36/27 c) 1/5
d) 3/20 e) 3/8 f) 7/125
g) 2339/1980 h) 56/495 i) 451/12
12. Calcular e dar o resultado exato.
a) (0,333..) – 3,14 + (1,1222..) =
b) (4,1222..) + 0,12 : 4,3 – (2,21212..)x0,5 =
c) -2,4 + 0,8 : (3,222..) =
d) 3,5 – (4,2 – 0,12121..) : 0,2 =
e) 0,999.. : 0,9 – 1,322.. + 2,5 x 0,022 =
f) (7,5 – 0,555..) : 3 + 0,02525.. : 0.5 =
g) 1,5-1,0555..+ (0,21010..)/(0,9090..x 0,2)- 0,00333x10=
h) (0,25-2,75):0,5-1,444..∶ 1,11..+0,1333..∶3,75=
i) (2 - 1,04) . 0,625 + 3,444.. : 10,333.. – 10 : 0,75 =
13. Calcular as seguintes raízes e potências quando for possível.
14. Efetue as operações indicadas.
15. Encontre o número racional x para o qual:
16. Resolver os seguintes problemas.
a) Calcular um número inteiro, cujo dobro aumentado em três, seja igual à metade de dito número.
b) Se a um número se troca o sinal e se multiplica por 4, obtém-se o triplo da soma de 9 + 3 trocado de sinal. Qual é dito número?
c) A soma de um produto de um número natural pelo seu consecutivo mais dito número pelo anterior é igual a 8. Qual é dito número?
d) O dobro de um número inteiro aumentado em 5 unidades é igual ao triplo do seu consecutivo. Qual é dito número?
17. Resolva as seguintes situações problemáticas.
a) Se a um número se soma a sua terça parte e a este resultado se subtrai o mesmo número aumentado em 5 obtém-se 1. Qual é dito número?
b) Uma pessoa gasta 1/3 do seu dinheiro e depois 2/5 do que lhe resta. Se ainda lhe restam $1200, quanto tinha no princípio?
c) Cada envelope de certo medicamento contém 2/15 de aspirina; 1/25 de ácido ascórbico e o restante de saborizante. Quantos mg de cada componente há em um envelope de 3 g?