PROBABILIDAD
A continuación, veremos casos de probabilidades donde, además de los casos vistos en el apartado anterior, deberemos combinarlos con combinaciones, variaciones o permutaciones
Distribución binomial
Nos dice cuan probable es lograr cierta cantidad de aciertos en varias pruebas cuando solo hay dos posibles resultados: acierto o fallo, y cada prueba no afecta a las otras.
Puntos claves:
1. Los dos resultados posibles son mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
3. La fórmula para calcular la distribución normal es:
Donde:
n = Número de ensayos/experimentos
x = Número de éxitos
p = Probabilidad de éxito
q = Probabilidad de fracaso (1-p)
Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una COMBINATORIA sin repetición.
Ejemplo 7
Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?
Definamos las variables del experimento:
n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)
x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.
p = probabilidad de éxito (0,8)
q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.
Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.
Ejemplo 8
Calcular la posibilidad de que en una mano de truco me toquen los ases de espada y de basto
Tenemos 3 casos favorables excluyentes entre si:
A = As de espada, B = As de basto, C = cualquiera de las 38 cartas restantes
Calculamos la combinatoria C(40,3) De entre 40 cartas, cuantas combinaciones posibles tenemos de formar manos diferentes de 3 cartas
Calculamos la probabilidad
Ejercicios
1) Un distribuidor de berries observa que de cada diez fresas una no se encuentra en excelente estado. ¿Cuál es la probabilidad de que de 15 fresas, ninguna se encuentre en mal estado?
2) Una persona tiene 0.7 de probabilidad de responder correctamente una pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 preguntas, responda todas correctamente?
3) Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números pares?
4) Un jugador de futbol un gol de cada 9 tiros a la portería contraria. Si realiza 15 disparos a la portería del equipo rival, ¿cuál es la probabilidad de que anote dos goles?
5) Un jugador de baloncesto acierta 5 de cada 8 tiros a la canasta. Si en un partido lanza 10 veces al aro, ¿Cuál es la probabilidad de encestar en 6 ocasiones?
6) Un agricultor observa que de cada 10 plantas una se enferma. ¿Cuál es la probabilidad de que de 12 plantas, se enfermen 2?
7) La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
b.- ¿Y cómo máximo 2?
8) Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
a.- Las cinco personas
b.- Al menos tres personas
c.- Exactamente dos personas
9) Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
10) Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando. ¿Cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
11) La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
12) En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
a.- Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
b.- Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
13) La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
14) En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica.
15)
Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
a.- Ningún paciente tenga efectos secundarios
b.- Al menos dos tengan efectos secundarios
c.- ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
