FUNCIÓN RACIONAL
Definición
Una función racional genérica es una función de la forma f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de Q(x) > 0.
Ejemplos:
La gráfica de una función racional se llama hipérbola.
En esta sección solo analizaremos funciones racionales con denominador de grado 1 y numerador de grado cero como f(x) = 1/x de grado 1 como g(x) = (x - 3)/(x + 1).
Análisis de la función
Dominio
Como no existe una división clara, el dominio de toda función racional se entiende mediante todos los números reales que no anulan el denominador.
Por ejemplo:
El dominio de f serán todos los números reales excepto la cera, y es decir: Dom f = IR - {0}
El dominio de g serán todos los números reales menos (-1), y es decir: Dom g = IR - {-1}
Para determinar el dominio de una función racional, debemos encontrar qué valores cancelan el denominador, por lo que igualamos el denominador a cero.
Determina el dominio de h:
Igualamos el denominador a cero yd reflejamos x
Los valores x = 2 e yx = -2 cancelan el denominador, por lo tanto, quedarán excluidos del dominio: Dom h = IR - {2, -2}
asíntota vertical
Los valores que quedan excluidos del dominio se representan en la gráfica como una asíntota vertical. Se trata de una línea recta vertical imaginaria a la que se aproxima la gráfica de la función, pero que nunca llega a interceptar.
Algunos ejemplos son:
AV de f: x= 0
Valor medio de g: x=-1
Valor medio de h: x1=-2 y x2=2
asíntota horizontal
Dada la función f(x) = ax+b, la asíntota horizontal será y = a/c.
cx+d
Ejemplo 1:
f(x) = 3x+5
x+1
AH: y = 3
1
Y = 3
Ejemplo 2:
g(x) = 2
x+1
La función se puede escribir como: g(x) = 0x+2
x+1
AH: y = 0
1
y = 0
-
Rango
El rango de toda función racional esta compuesto por todos los reales menos los valores de la asíntota horizontal
-
Rango f = IR - {3}
-
Rango de g = IR - {0}
La función racional también puede escribirse en la forma donde:
-
La asíntota vertical intercepta al eje de las absisas en x = h
-
La asíntota horizontal intercepta al eje de las ordenadas en y = k
-
Si el numerador es negativo, a < 0 la función será creciente en todo su dominio y, si el numerador es positivo, a > 0 la función será decreciente en todo su dominio
Para llevar la función genérica f(x) = P(x)/Q(x) a esta forma debemos realizar la división de los polinomios.
Ejemplo:
Sea la función f(x) = 3x + 5 procederemos a dividir 3x+5 en x+1
x + 1
3x+5 | x+1
3x+3 3
( 2 )
La función estará dada por: f(x) = 2 + 3 donde la A.V= -1 y la A.H= 3
Grafica
Para graficar una función racional es necesario realizar una tabla de valores, pero primero es conveniente encontrar las asíntotas y asignarles valores a la variable independiente (x) que estén a la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical.
Como ejemplo graficaremos la función vista anteriormente, dado que la asíntota vertical es x = -1 le asignaremos a la tabla de valores 3 valores menores a -1 y 3 valores mayores a -1
x + 1
Intersecciones con los ejes
Ordenada al origen: Calculamos f(0)
f(x) = 2 + 3 -----> f(0) = 2 + 3
x+1 0+1
f(0) = 5
Raíces o ceros: Igualamos f(x)=0
2 + 3 = 0 Despejamos "x"
x+1
2 = -3
x+1
2 = -3(x+1)
2 = -3x - 3
x = -5/3
Crecimiento: La función es decreciente en todo su dominio
Positividad:
-
La función es positiva en (-∞ , -5/3) U (-1 , ∞)
-
La función es negativa en (-5/3 , -1)
Ejercicios
Hallar dominio, rango, ecuaciones de las asíntotas , intersecciones con los ejes, crecimiento, positividad y grafica de las siguientes funciones.
