CONICAS
Definición
Se denomina sección cónica o simplemente cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.
Se clasifican en cuatro tipos: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Podemos definir y analizar las cónicas con ecuaciones de la forma Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 donde debe contener al menos uno de los términos de segundo grado x² o y².
Circunferencia
Definición geométrica
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P de un plano que equidistan de otro punto fijo C, llamado centro, en una cantidad constante r, llamada radio. Es decir:
Γ (C,r) = {P / d(C, P ) = r}
Siguiendo la grafica de una circunferencia cualquiera, su ecuación está dada por la distancia r (radio) entre el punto 0 (h,k) y todos los puntos P (x,y). Ver Distancia entre dos puntos . Es decir:
(x - h)² + (y - k)² = r²
Si desarrollamos los binomios obtenemos la ecuación en su forma general:
x² + y² + a.x + b.y + c = 0
Ejemplo: Determinar la ecuación y grafica de la circunferencia de centro C(3,2) y radio r=4
(x - h)² + (y - k)² = r²
(x - 3)² + (y - 2)² = 4²
(x - 3)² + (y - 2)² = 16
Escribimos la ecuación canónica
Reemplazamos h=3, k=2 y r=4
Calculamos 4²
Ya teniendo la ecuación en su forma canónica podemos graficar
Como ya vimos, para graficar no precisamos llevar la ecuación de su forma canónica a su forma general, pero en esta ocasión vamos a hacerlo a modo de ejemplo para entender el procedimiento:
(x - 3)² + (y - 2)² = 16
x² + 2.x.(-3) + (-3)² + y² + 2.y.2 + 2² = 16
x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 16
x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 -16 = 0
x² + y² - 6x + 4y -1 = 0
Desarrollamos el binomio de Newton en cada término cuadrático Ver binomio de Newton
Igualamos la ecuación a 0
Ordenamos y agrupamos los términos semejantes
Análisis
Ceros o Intersección con el eje de las abscisas
Para hallar los puntos que interceptan la circunferencia con el eje de las abscisas (x) reemplazamos y = 0 en cualquiera de las ecuaciones
Intersección con el eje de las ordenadas
Para hallar los puntos que interceptan la circunferencia con el eje de las ordenadas (y) reemplazamos x = 0 en cualquiera de las ecuaciones
